exo7 6715

Soit $D$ le disque unité ouvert et $f$ une fonction holomorphe de $D$ dans lui-même. Soit $\Phi _a$ la fonction définie dans l’exercice précédent. Quelle est l’image de 0 par $h=\Phi _{f(a)}\circ f\circ (\Phi _a)^{-1}$ ? En déduire que pour tout $z$ de $D$, $$\left\vert {f(z)-f(a)\over 1-\overline{f(a)}f(z)}\right\vert \le \left\vert {z-a\over 1-\overline{a}z}\right\vert$$ puis $$\vert f'(a)\vert\le {1-\vert f(a)\vert^2\over 1-\vert a\vert^2}$$ (lemme de Schwarz-Pick).