L3 Analyse complexe Formule de Cauchy 2 questions

exo7 6719

Soit ff une fonction holomorphe dans un domaine contenant la couronne fermée constituée par les z∈Cz\in\C tels que r1≤∣z∣≤r2r_1\le\vert z\vert \le r_2 (où 0<r1<r20<r_1<r_2). On pose M(r)=max⁡∣z∣=r∣f(z)∣M(r)=\max_{\vert z\vert =r}\vert f(z)\vert pour r1≤r≤r2r_1\le r\le r_2.

1

Montrer qu’il existe un nombre réel α\alpha tel que r1αM(r1)=r2αM(r2)r_1^\alpha M(r_1)=r_2^\alpha M(r_2).

2

Montrer que M(r)≤M(r1)ln⁡r2−ln⁡rln⁡r2−ln⁡r1M(r2)ln⁡r−ln⁡r1ln⁡r2−ln⁡r1M(r)\le M(r_1)^{\ln{r_2}-\ln{r}\over \ln{r_2}-\ln{r_1}} M(r_2)^{\ln{r}-\ln{r_1}\over \ln{r_2}-\ln{r_1}} (on appliquera le principe du maximum à la fonction zpf(z)qz^pf(z)^q où p∈Zp\in{\Zz} et q∈N∗q\in {\Nn}^*, puis on considèrera une suite (pn,qn)(p_n,q_n), pn∈Zp_n\in{\Zz} et qn∈N∗q_n\in {\Nn}^*, telle que lim⁡n→∞pn/qn=α\lim_{n\to\infty}p_n/q_n=\alpha).

Exercice 4fC6

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