Soit \(f\) une fonction holomorphe dans un domaine contenant la couronne fermée constituée par les \(z\in\C\) tels que \(r_1\le\vert z\vert \le r_2\) (où \(0<r_1<r_2\)). On pose \(M(r)=\max_{\vert z\vert =r}\vert f(z)\vert\) pour \(r_1\le r\le r_2\).
1
Montrer qu’il existe un nombre réel \(\alpha\) tel que \(r_1^\alpha M(r_1)=r_2^\alpha M(r_2)\).
2
Montrer que \[M(r)\le M(r_1)^{\ln{r_2}-\ln{r}\over \ln{r_2}-\ln{r_1}} M(r_2)^{\ln{r}-\ln{r_1}\over \ln{r_2}-\ln{r_1}}\] (on appliquera le principe du maximum à la fonction \(z^pf(z)^q\) où \(p\in{\Zz}\) et \(q\in {\Nn}^*\), puis on considèrera une suite \((p_n,q_n)\), \(p_n\in{\Zz}\) et \(q_n\in {\Nn}^*\), telle que \(\lim_{n\to\infty}p_n/q_n=\alpha\)).