1
Soit \(z\) et \(w\) deux nombres complexes. Démontrer que \[\begin{aligned} |z+w|^2&=&|z|^2+2\Re (z\overline{w})+|w|^2\\ |z+w|^2+|z-w|^2&=&2(|z|^2+|w|^2)\\ |z+w|&\leq& |z|+|w|\\ ||z|-|w||&\leq&|z-w|. \end{aligned}\]
2
Montrer que l’ensemble \(\Cc\) des nombres complexes muni de la distance définie par \[d(z,w):=|w-z|\] est un espace métrique, c’est à dire que pour tous \((x,y,z)\in\Cc^3\),
3
\(d(x,y)\geq 0\)
4
\(d(x,y)=0\iff x=y\)
5
\(d(y,x)=d(x,y)\)
6
\(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\).