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Soit $z$ et $w$ deux nombres complexes. Démontrer que $$\begin{aligned} |z+w|^2&=&|z|^2+2\Re (z\overline{w})+|w|^2\\ |z+w|^2+|z-w|^2&=&2(|z|^2+|w|^2)\\ |z+w|&\leq& |z|+|w|\\ ||z|-|w||&\leq&|z-w|. \end{aligned}$$

Montrer que l’ensemble $\Cc$ des nombres complexes muni de la distance définie par $$d(z,w):=|w-z|$$ est un espace métrique, c’est à dire que pour tous $(x,y,z)\in\Cc^3$,

$d(x,y)\geq 0$

$d(x,y)=0\iff x=y$

$d(y,x)=d(x,y)$

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.