Soit $z\in\C$ . Si $\overline{z}=1-z^2$ , alors en conjuguant une deuxième fois on obtient : $z=1-\overline{z}^2=1-(1-z^2)^2=2z^2-z^4.$ Donc $z$ est une racine du polynôme $X^4-2X^2+X$ . Ce polynôme a deux racines évidentes : $0$ et $1$ , et deux autres racines $\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}$ . Les deux dernières sont les seules à vérifier l’équation d’origine.

Autre approche : on écrit l’inconnue $z\in\C$ sous forme cartésienne $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels. On obtient le système $\begin{cases}a^2-b^2+a&=1\\2ab-b&=0\end{cases}$ .

La seconde équation équivaut à $b=0$ ou $a=\frac{1}{2}$ . Si $b=0$ , la première équation devient $a^2+a-1=0$ , dont les solutions (réelles) sont $\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}$ . Si $a=1/2$ , la première équation devient $b^2=-\frac{1}{4}$ , qui n’a pas de solutions réelles.

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