Les termes \(u_n\) sont positifs. On cherche un équivalent de \(u_n\) quand \(n \to +\infty\). Quand \(n \to +\infty\), \(\dfrac{1}{n} \to 0\). Donc, \(e^{\frac{1}{n}} \to e^0 = 1\). Ainsi, \(u_n = \dfrac{e^{\frac{1}{n}}}{n+1} \sim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}\). Or, \(\dfrac{1}{n+1} \sim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}\). La série \(\sum \dfrac{1}{n}\) est la série harmonique, qui est une série de Riemann avec \(\alpha=1\). Elle est divergente. Par le critère d’équivalence pour les séries à termes positifs, la série \(\sum u_n\) a la même nature que \(\sum \dfrac{1}{n}\). Donc, la série \(\sum u_n\) est divergente.

Autre méthode (comparaison directe) : Pour \(n \ge 1\), \(\dfrac{1}{n} > 0\), donc \(e^{\frac{1}{n}} > e^0 = 1\). Alors \(u_n = \dfrac{e^{\frac{1}{n}}}{n+1} > \dfrac{1}{n+1}\). La série \(\sum \dfrac{1}{n+1}\) est divergente (série harmonique décalée, ou comparaison avec \(\sum \frac{1}{n}\) par critère d’équivalence). Comme \(u_n > \dfrac{1}{n+1}\) et \(\sum \dfrac{1}{n+1}\) diverge, par le critère de comparaison, \(\sum u_n\) diverge.

Séries convergentes ou divergentes