Les termes $u_n$ sont positifs. On cherche un équivalent de $u_n$ quand $n \to +\infty$ . Quand $n \to +\infty$ , $\dfrac{1}{n} \to 0$ . Donc, $e^{\frac{1}{n}} \to e^0 = 1$ . Ainsi, $u_n = \dfrac{e^{\frac{1}{n}}}{n+1} \sim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}$ . Or, $\dfrac{1}{n+1} \sim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}$ . La série $\sum \dfrac{1}{n}$ est la série harmonique, qui est une série de Riemann avec $\alpha=1$ . Elle est divergente. Par le critère d’équivalence pour les séries à termes positifs, la série $\sum u_n$ a la même nature que $\sum \dfrac{1}{n}$ . Donc, la série $\sum u_n$ est divergente.

Autre méthode (comparaison directe) : Pour $n \ge 1$ , $\dfrac{1}{n} > 0$ , donc $e^{\frac{1}{n}} > e^0 = 1$ . Alors $u_n = \dfrac{e^{\frac{1}{n}}}{n+1} > \dfrac{1}{n+1}$ . La série $\sum \dfrac{1}{n+1}$ est divergente (série harmonique décalée, ou comparaison avec $\sum \frac{1}{n}$ par critère d’équivalence). Comme $u_n > \dfrac{1}{n+1}$ et $\sum \dfrac{1}{n+1}$ diverge, par le critère de comparaison, $\sum u_n$ diverge.

Séries convergentes ou divergentes