Soit \(T\) une pèriode strictement positive de \(f\). \(f\) est continue sur le segment \([0,T]\) et donc est bornée sur ce segment. \(f\) est par suite bornée sur \(\Rr\) par \(T\)-périodicité.

Soit \(\varepsilon>0\).

\(f\) est continue sur le segment \([0,T]\) et donc, d’après le théorème de Heine, \(f\) est uniformément continue sur ce segment. Donc,

\[\exists\alpha\in]0,T[/\;\forall(x,y)\in[0,T],\;(|x-y|<\alpha\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}.\]

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(|x-y|<\alpha\). Si il existe un entier naturel \(k\) tel que \((x,y)\in[kT,(k+1)T]\), alors \(x-kT\in[0,T]\), \(y-kT\in[0,T]\), puis \(|(x-kT)-(y-kT)|=|y-x|<\alpha\) et donc \(|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\).

Sinon, en supposant par exemple que \(x\leq y\), puisque l’on a choisi \(\alpha<T\),

\[\exists k\in\Zz/\;(k-1)T\leq x\leq kT\leq y\leq(k+1)T.\]

Mais alors, \(|x-kT|=|y-x|<\alpha\) et \(|y-kT|\leq|y-x|<\alpha\). Par suite,

\[|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(kT)|+|f(y)-f(kT)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.\]

Dans tous les cas, si \(|x-y|<\alpha\), alors \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\). On a montré que

\[\forall\varepsilon>0,\;\exists\alpha>0/\;\forall(x,y)\in\Rr^2,\;(|x-y|<\alpha\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon).\]

\(f\) est donc uniformément continue sur \(\Rr\).

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