Soit \((\mathcal{S})\) une surface du second degré d’équation \(f(x,y,z)=0\) où \(f\) est symétrique en \(x\), \(y\) et \(z\). Soient \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) et \(\sigma_3\) les trois fonctions symétriques élémentaires en \(x\), \(y\) et \(z\).

Puisque \(f\) est symétrique en \(x\), \(y\) et \(z\), \(f\) est un polynôme en \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) et \(\sigma_3\). \(f\) est d’autre part un polynôme de degré \(2\) en \(x\), \(y\) et \(z\) et donc

il existe \((a,b,c,d)\in\Rr^4\) avec \((a,b)\neq(0,0)\) tel que \(f = a\sigma_1^2+b\sigma_2+c\sigma_1+d\).

Réciproquement, si \(f\) est de la forme ci-dessus, alors \(f\) est symétrique en \(x\), \(y\) et \(z\).

Puisque \(\sigma_2 = xy+yz+zx =\frac{1}{2}((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2))\), \((\mathcal{S})\) admet une une équation cartésienne de la forme :

\(\left(a+\frac{b}{2}\right)(x+y+z)^2-b(x^2+y^2+z^2)+c(x+y+z)+d = 0\) où \((a,b)\neq(0,0)\).

Soit \((\mathcal{D})\) la droite passant par \(O\) dirigée par \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\) (\(\overrightarrow{n}\) est vecteur normal à tout plan d’équation \(x+y+z = k\), \(k\in\Rr\)) et soit \(r\) une rotation quelconque d’axe \((\mathcal{D})\).

Si \(M\) est un point de coordonnées \((x,y,z)\) et \(M'=r(M)\) a pour coordonnées \((x',y',z')\) alors \(x+y+z=x'+y'+z'\) car \(M\) et \(M'\) sont dans un plan perpendiculaire à \((\mathcal{D})\) et \(x^2+y^2+z^2=x'^2+y'^2+z'^2\) car une rotation est une isométrie et car \(r(O) = O\).

Finalement, pour toute rotation \(r\) d’axe \((\mathcal{D})\), \(M\in(\mathcal{S})\Leftrightarrow r(M)\in(\mathcal{S})\) et donc la surface \((\mathcal{S})\) est une surface de révolution d’axe \((\mathcal{D})\).

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