Dans \(\R^{3}\) muni de sa base canonique, on considère les applications \(\omega\) et \(\alpha\) suivantes : \[\omega~: \begin{array}{ccl} \R^{3}\times\R^{3} & \rightarrow & \R \\ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix} & \mapsto & x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} \end{array} \quad\text{ et }\quad \alpha~: \begin{array}{ccl} \R^{3} & \rightarrow & \R \\ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix} & \mapsto & x_{3} \end{array}\]
Montrer que \(\omega\) est antisymétrique et bilinéaire.
A l’aide de \(\omega\) et \(\alpha\), on définit une nouvelle application, notée \(\omega\wedge\alpha\), de la façon suivante : \[\omega\wedge\alpha~: \begin{array}{ccl} \R^{3}\times\R^{3}\times\R^{3} & \rightarrow & \R \\ (X,Y,Z) & \mapsto & \omega(X,Y)\alpha(Z) +\omega(Y,Z)\alpha(X) +\omega(Z,X)\alpha(Y) \end{array}\]
Montrer que \(\omega\wedge\alpha\) est alternée.
Montrer que \(\omega\wedge\alpha\) est trilinéaire.
Calculer \(\omega\wedge\alpha(e_{1},e_{2},e_{3})\). En déduire que \(\forall(X,Y,Z)\in(\R^{3})^{3}\ \omega\wedge\alpha(X,Y,Z)=\det(X,Y,Z)\)