OpenYourMath

Dans $\R^{3}$ muni de sa base canonique, on considère les applications $\omega$ et $\alpha$ suivantes : $\omega~: \begin{array}{ccl} \R^{3}\times\R^{3} & \rightarrow & \R \\ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix} & \mapsto & x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} \end{array} \quad\text{ et }\quad \alpha~: \begin{array}{ccl} \R^{3} & \rightarrow & \R \\ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix} & \mapsto & x_{3} \end{array}$

Montrer que $\omega$ est antisymétrique et bilinéaire.

A l’aide de $\omega$ et $\alpha$ , on définit une nouvelle application, notée $\omega\wedge\alpha$ , de la façon suivante : $\omega\wedge\alpha~: \begin{array}{ccl} \R^{3}\times\R^{3}\times\R^{3} & \rightarrow & \R \\ (X,Y,Z) & \mapsto & \omega(X,Y)\alpha(Z) +\omega(Y,Z)\alpha(X) +\omega(Z,X)\alpha(Y) \end{array}$

Montrer que $\omega\wedge\alpha$ est alternée.

Montrer que $\omega\wedge\alpha$ est trilinéaire.

Calculer $\omega\wedge\alpha(e_{1},e_{2},e_{3})$ . En déduire que $\forall(X,Y,Z)\in(\R^{3})^{3}\ \omega\wedge\alpha(X,Y,Z)=\det(X,Y,Z)$

exo7 1113

Signaler une erreur