Soit \(P=\left| \begin{array}{cccc} X&a&b&c\\ a&X&c&b\\ b&c&X&a\\ c&b&a&X \end{array}\right|\). \(P\) est un polynôme unitaire de degré \(4\). En remplaçant \(C_1\) par \(C_1+C_2+C_3+C_4\) et par linéarité par rapport à la première colonne, on voit que \(P\) est divisible par \((X+a+b+c)\). Mais aussi, en remplaçant \(C_1\) par \(C_1-C_2-C_3+C_4\) ou \(C_1-C_2+C_3-C_4\) ou \(C_1+C_2-C_3-C_4\), on voit que \(P\) est divisible par \((X-a-b+c)\) ou \((X-a+b-c)\) ou \((X+a-b-c)\). 1er cas. Si les quatre nombres \(-a-b-c\), \(-a+b+c\), \(a-b+c\) et \(a+b-c\) sont deux à deux distincts, \(P\) est unitaire de degré \(4\) et divisible par les quatre facteurs de degré \(1\) précédents, ceux-ci étant deux à deux premiers entre eux. Dans ce cas, \(P=(X+a+b+c)(X+a+b-c)(X+a-b+c)(X-a+b+c)\). 2ème cas. Deux au moins des quatre nombres \(-a-b-c\), \(-a+b+c\), \(a-b+c\) et \(a+b-c\) sont égaux. Notons alors que \(-a-b-c=a+b-c\Leftrightarrow b=-a\) et que \(-a+b+c=a-b+c\Leftrightarrow a=b\). Par symétrie des roles, deux des quatre nombres \(-a-b-c\), \(-a+b+c\), \(a-b+c\) et \(a+b-c\) sont égaux si et seulement si deux des trois nombres \(|a|\), \(|b|\) ou \(|c|\) sont égaux. On conclut dans ce cas que l’expression de \(P\) précédemment trouvée reste valable par continuité par rapport à \(a\), \(b\) ou \(c\).

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