Soit $P=\left| \begin{array}{cccc} X&a&b&c\\ a&X&c&b\\ b&c&X&a\\ c&b&a&X \end{array}\right|$ . $P$ est un polynôme unitaire de degré $4$ . En remplaçant $C_1$ par $C_1+C_2+C_3+C_4$ et par linéarité par rapport à la première colonne, on voit que $P$ est divisible par $(X+a+b+c)$ . Mais aussi, en remplaçant $C_1$ par $C_1-C_2-C_3+C_4$ ou $C_1-C_2+C_3-C_4$ ou $C_1+C_2-C_3-C_4$ , on voit que $P$ est divisible par $(X-a-b+c)$ ou $(X-a+b-c)$ ou $(X+a-b-c)$ . 1er cas. Si les quatre nombres $-a-b-c$ , $-a+b+c$ , $a-b+c$ et $a+b-c$ sont deux à deux distincts, $P$ est unitaire de degré $4$ et divisible par les quatre facteurs de degré $1$ précédents, ceux-ci étant deux à deux premiers entre eux. Dans ce cas, $P=(X+a+b+c)(X+a+b-c)(X+a-b+c)(X-a+b+c)$ . 2ème cas. Deux au moins des quatre nombres $-a-b-c$ , $-a+b+c$ , $a-b+c$ et $a+b-c$ sont égaux. Notons alors que $-a-b-c=a+b-c\Leftrightarrow b=-a$ et que $-a+b+c=a-b+c\Leftrightarrow a=b$ . Par symétrie des roles, deux des quatre nombres $-a-b-c$ , $-a+b+c$ , $a-b+c$ et $a+b-c$ sont égaux si et seulement si deux des trois nombres $|a|$ , $|b|$ ou $|c|$ sont égaux. On conclut dans ce cas que l’expression de $P$ précédemment trouvée reste valable par continuité par rapport à $a$ , $b$ ou $c$ .

$P=(X+a+b+c)(X+a+b-c)(X+a-b+c)(X-a+b+c)$ .

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