On procède par récurrence sur $n\geq1$ . Pour $n=1$ , c’est clair. Soit $n\geq1$ . Supposons que tout déterminant $\Delta_n$ de format $n$ et du type de l’énoncé soit divisible par $2^{n-1}$ . Soit $\Delta_{n+1}$ un déterminant de format $n+1$ , du type de l’énoncé. Si tous les coefficients $a_{i,j}$ de $\Delta_{n+1}$ sont égaux à $1$ , puisque $n+1\geq2$ , $\Delta_{n+1}$ a deux colonnes égales et est donc nul. Dans ce cas, $\Delta_{n+1}$ est bien divisible par $2^n$ . Sinon, on va changer petit à petit tous les $-1$ en $1$ . Soit $(i,j)$ un couple d’indices tel que $a_{i,j}=-1$ et $\Delta_{n+1}'$ le déterminant dont tous les coefficients sont égaux à ceux de $\Delta_{n+1}$ sauf le coefficient ligne $i$ et colonne $j$ qui est égal à $1$ .

$\begin{align*} \Delta_{n+1}-\Delta_{n+1}' &= \mbox{det}(C_1,...,C_j,...,C_n)-\mbox{det}(C_1,...,C_j',...,C_n) \\ &= \mbox{det}(C_1,...,C_j-C_j',...,C_n), \end{align*}$

où $C_j-C_j'=\left( \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0\\ -2\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array} \right)$ ( $-2$ en ligne $i$ ). En développant ce dernier déterminant suivant sa $j$ -ème colonne, on obtient :

$\Delta_{n+1}-\Delta_{n+1}'=-2\Delta_n,$ où $\Delta_n$ est un déterminant de format $n$ et du type de l’énoncé. Par hypothèse de récurrence, $\Delta_n$ est divisible par $2^{n-1}$ et donc $\Delta_{n+1}-\Delta_{n+1}'$ est divisible par $2^n$ . Ainsi, en changeant les $-1$ en $1$ les uns après les autres, on obtient

$\Delta_{n+1}\equiv\left| \begin{array}{ccc} 1&\ldots&1\\ \vdots& &\vdots\\ 1&\ldots&1 \end{array}\right|\;(\text{mod}\;2^n)$ .

Ce dernier déterminant étant nul, le résultat est démontré par récurrence.

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