On procède par récurrence sur \(n\geq1\). Pour \(n=1\), c’est clair. Soit \(n\geq1\). Supposons que tout déterminant \(\Delta_n\) de format \(n\) et du type de l’énoncé soit divisible par \(2^{n-1}\). Soit \(\Delta_{n+1}\) un déterminant de format \(n+1\), du type de l’énoncé. Si tous les coefficients \(a_{i,j}\) de \(\Delta_{n+1}\) sont égaux à \(1\), puisque \(n+1\geq2\), \(\Delta_{n+1}\) a deux colonnes égales et est donc nul. Dans ce cas, \(\Delta_{n+1}\) est bien divisible par \(2^n\). Sinon, on va changer petit à petit tous les \(-1\) en \(1\). Soit \((i,j)\) un couple d’indices tel que \(a_{i,j}=-1\) et \(\Delta_{n+1}'\) le déterminant dont tous les coefficients sont égaux à ceux de \(\Delta_{n+1}\) sauf le coefficient ligne \(i\) et colonne \(j\) qui est égal à \(1\).

\[\Delta_{n+1}-\Delta_{n+1}'=\mbox{det}(C_1,...,C_j,...,C_n)-\mbox{det}(C_1,...,C_j',...,C_n)=\mbox{det}(C_1,...,C_j-C_j',...,C_n),\]

où \(C_j-C_j'=\left( \begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0\\ -2\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array} \right)\) (\(-2\) en ligne \(i\)). En développant ce dernier déterminant suivant sa \(j\)-ème colonne, on obtient :

\[\Delta_{n+1}-\Delta_{n+1}'=-2\Delta_n,\] où \(\Delta_n\) est un déterminant de format \(n\) et du type de l’énoncé. Par hypothèse de récurrence, \(\Delta_n\) est divisible par \(2^{n-1}\) et donc \(\Delta_{n+1}-\Delta_{n+1}'\) est divisible par \(2^n\). Ainsi, en changeant les \(-1\) en \(1\) les uns après les autres, on obtient

\(\Delta_{n+1}\equiv\left| \begin{array}{ccc} 1&\ldots&1\\ \vdots& &\vdots\\ 1&\ldots&1 \end{array}\right|\;(\text{mod}\;2^n)\).

Ce dernier déterminant étant nul, le résultat est démontré par récurrence.

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