Calculons $f((x,y)+(h,k))-f(x,y)=f(x+h,y+k)-f(x,y)= f(x,y+k)+f(h,y+k)-f(x,y)=$ $f(x,y)+f(x,k)+f(h,y)+f(h,k)-f(x,y)=f(x,k)+f(h,y)+f(h,k).$ L’application qui à $(x,y)$ associe l’application linéaire $Df(x,y)(h,k)=f(x,k)+f(h,y)$ est donc candidate pour être la différentielle de $f$ . Vérifions qu’elle est bien continue et que $f(h,k)=o(||(h,k)||)$ . Nous rappelons qu’une application bilinéaire $f(x,y)$ est continue s’il existe $M>0$ tel que $\forall (x,y) \in E^2; ||f(x,y)||\leq M||x||||y||.$ On a $||Df(x,y)(h,k)||=||f(x,k)+f(h,y)|| \leq ||f(x,k)||+||f(h,y)||\leq$ $M||x||.||k||+M||h||.||y|| \leq M (||x||+||y||)\max(||k||,||h||)\leq M(||x||+||y||)||(h,k)||.$ Par conséquent, $Df(x,y)$ est continue et a une norme inférieure à $M(||x||+||y||)$ . De plus $||f(h,k)||\leq M||h||.||k|| \leq ||(h,k)||.\epsilon(h,k)$ où $\epsilon$ tend vers zero quand $(h,k)$ tend vers zero car $\epsilon(h,k)=\frac{||h||.||k||}{\sup(||h||,||k||)}$ ce qui fini de montrer que $f$ est différentiable et que sa différentielle est définie par $Df(x,y).(h,k)=f(x,k)+f(h,y).$ En remarquant que $Df$ est linéaire par rapport à $(x,y)$ , d’après la première question, on déduit que sa différentielle est $D^2f(x,y)[(h,k),(u,v)]=f(u,k)+f(h,v).$

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