Calculons \[f((x,y)+(h,k))-f(x,y)=f(x+h,y+k)-f(x,y)= f(x,y+k)+f(h,y+k)-f(x,y)=\] \[f(x,y)+f(x,k)+f(h,y)+f(h,k)-f(x,y)=f(x,k)+f(h,y)+f(h,k).\] L’application qui à \((x,y)\) associe l’application linéaire \(Df(x,y)(h,k)=f(x,k)+f(h,y)\) est donc candidate pour être la différentielle de \(f\). Vérifions qu’elle est bien continue et que \(f(h,k)=o(||(h,k)||)\). Nous rappelons qu’une application bilinéaire \(f(x,y)\) est continue s’il existe \(M>0\) tel que \[\forall (x,y) \in E^2; ||f(x,y)||\leq M||x||||y||.\] On a \[||Df(x,y)(h,k)||=||f(x,k)+f(h,y)|| \leq ||f(x,k)||+||f(h,y)||\leq\] \[M||x||.||k||+M||h||.||y|| \leq M (||x||+||y||)\max(||k||,||h||)\leq M(||x||+||y||)||(h,k)||.\] Par conséquent, \(Df(x,y)\) est continue et a une norme inférieure à \(M(||x||+||y||)\). De plus \[||f(h,k)||\leq M||h||.||k|| \leq ||(h,k)||.\epsilon(h,k)\] où \(\epsilon\) tend vers zero quand \((h,k)\) tend vers zero car \[\epsilon(h,k)=\frac{||h||.||k||}{\sup(||h||,||k||)}\] ce qui fini de montrer que \(f\) est différentiable et que sa différentielle est définie par \[Df(x,y).(h,k)=f(x,k)+f(h,y).\] En remarquant que \(Df\) est linéaire par rapport à \((x,y)\), d’après la première question, on déduit que sa différentielle est \[D^2f(x,y)[(h,k),(u,v)]=f(u,k)+f(h,v).\]

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