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Soit $u_n(t)$ le terme général d’une série : $u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)$ avec $0< x< \pi$ .

Étudier la convergence de la série.

Calculer $\sum_{p=0}^n u_p(t) = S_n(t)$ . Mettre $S_n(t)$ sous la forme $\frac{P_n(t)}{Q(t)}$ avec $Q(t)>\alpha$ , $\alpha>0$ .

Calculer $\lim_{n\to\infty} S_n(t)$ et $\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^1 S_n(t)\,d t$ .

En déduire $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}n$ .