Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec \(0< x< \pi\).
1
Étudier la convergence de la série.
2
Calculer \(\sum_{p=0}^n u_p(t) = S_n(t)\). Mettre \(S_n(t)\) sous la forme \(\frac{P_n(t)}{Q(t)}\) avec \(Q(t)>\alpha\), \(\alpha>0\).
3
Calculer \(\lim_{n\to\infty} S_n(t)\) et \(\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^1 S_n(t)\,d t\).
4
En déduire \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}n\).