On appelle espace d’Artin (ou espace hyperbolique) tout espace vectoriel \(E\) muni d’une forme quadratique \(q\) équivalente à \[x=(x_i)_{1\leq i\leq 2p}\ \ \ \ \ \ \ q(x)=2\sum_{i=1}^p x_ix_{i+p}.\]
1
Montrer que sur \(\Cc^{2p}\), toute forme quadratique non dégénérée définit un espace d’Artin. Caractériser à l’aide de la signature les espaces d’Artin sur \(\Rr^{2p}\). Les caractériser à l’aide de l’indice en supposant la forme non dégénérée.
2
Montrer que tout espace d’Artin est somme directe orthogonale de plans d’Artin orthogonaux.
3
Soit \((E,q)\) quelconque, \(x\) un vecteur isotrope mais pas dans le noyau de \(q\). Montrer qu’il existe un plan \(P\) qui contient \(x\) et tel que \((P,q_{|P})\) soit un plan d’Artin.