Pour $k$ élément de $\{0,...,n-1\}$ , posons $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$ . Décomposons $F$ en éléments simples (sur $\Cc$ ).

$\frac{\omega X+1}{\omega^2X+\omega X+1}=\frac{\omega X+1}{(\omega X)^2+\omega X+1}=\frac{\omega X+1}{(\omega X-j)(\omega X-j^2)}=\frac{a}{\omega X-j}+\frac{b}{\omega X-j^2},$

avec $a=\frac{\omega\frac{j}{\omega}}{\omega\frac{j}{\omega}-j^2}=\frac{j+1}{j-j^2}=-\frac{-j^2}{j-j^2}=\frac{j}{j-1}$ et de même $b=\frac{j^2+1}{j^2-j}=-\frac{1}{j-1}$ . Donc,

$\begin{align*}\ensuremath F&=\frac{1}{j-1}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{j}{\omega_k X-j}-\frac{1}{\omega_k X-j^2})=\frac{1}{j-1}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{j\omega_{-k}}{X-j\omega_{-k}}-\frac{\omega_{-k}}{X-j^2\omega_{-k}}) &=\frac{1}{j-1}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{j\omega_{k}}{X-j\omega_{k}}-\frac{\omega_{k}}{X-j^2\omega_{k}}) \end{align*}$

Maintenant les $n$ nombres $j\omega_k$ sont deux à deux distincts et vérifient $(j\omega_k)^n=j^n$ et donc,

$\prod_{k=0}^{n-1}(X-j\omega_k)=X^n-j^n.$

$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{j\omega_k}{X-j\omega_k}$ est donc la décomposition en éléments simples d’une fraction du type $\frac{P}{X^n-j^n}$ avec $\mbox{deg}P\leq n-1$ . De plus, on sait que $j\omega_k=\frac{P(j\omega_k)}{n(j\omega_k)^{n-1}}$ et donc, $\forall k\in\{0,...,n-1\},\;P(j\omega_k)=nj^n$ . Le polynôme $P-nj^n$ est de degré inférieur ou égal à $n-1$ , admet les $n$ racines deux à deux distinctes $j\omega_k$ et est donc le polynôme nul. Par suite

$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{j\omega_{k}}{X-j\omega_{k}}=\frac{nj^n}{X^n-j^n}.$

De même, $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega_{k}}{X-j^2\omega_{k}}=\frac{nj^{2n-2}}{X^n-j^{2n}}$ , puis

$F=\frac{n}{j-1}(\frac{j^n}{X^n-j^n}-\frac{j^{2n-2}}{X^n-j^{2n}}).$

Si $n\in3\Zz$ , posons $n=3p$ , $p\in\Zz$ . Dans ce cas,

$F=\frac{3p}{j-1}(\frac{1}{X^{3p}-1}-\frac{j}{X^{3p}-1})=\frac{3p}{1-X^{3p}}.$

Si $n\in3\Zz+1$ , posons $n=3p+1$ , $p\in\Zz$ . Dans ce cas,

$F=\frac{3p+1}{j-1}(\frac{j}{X^{3p+1}-j}-\frac{1}{X^{3p+1}-j^2})=\frac{(3p+1)(X^{3p+1}+1)}{X^{6p+2}+X^{3p+1}+1}.$

Si $n\in3\Zz+2$ , posons $n=3p+2$ , $p\in\Zz$ . Dans ce cas,

$F=\frac{3p+2}{j-1}(\frac{j^2}{X^{3p+2}-j^2}-\frac{j^2}{X^{3p+2}-j})=\frac{3p+2}{X^{6p+4}+X^{3p+2}+1}.$

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