Avec Maple : \(P=\frac1{65\strut}Q\overline Q\) avec \(Q=65X^2+(49i-67)X+(42+11i)\) et \(Q\) est irréductible sur \(Q[i]\). Donc si \(P=A^2+B^2 = (A+iB)(A-iB)\) avec \(A,B\) polynômes à coefficients entiers alors, quitte à changer \(B\) en \(-B\), il existe \(\lambda\in\Q[i]\) tel que : \(A+iB = \lambda Q\) et \(A-iB=\overline\lambda\overline Q\) d’où : \[\begin{aligned} 2A &= 65(\lambda+\overline\lambda)X^2 + ((49i-67)\lambda-(49i+67)\overline\lambda)X + ((42+11i)\lambda+(42-11i)\overline\lambda)\cr 2iB &= 65(\lambda-\overline\lambda)X^2 + ((49i-67)\lambda+(49i+67)\overline\lambda)X + ((42+11i)\lambda-(42-11i)\overline\lambda)\cr \lambda\overline\lambda&=65.\cr \end{aligned}\] En particulier \(65\lambda\in \Z[i]\), écrivons \(\lambda= \frac{u+iv}{\strut 65}\) avec \(u,v\in\Z\) : \[\begin{aligned} A &= uX^2 -\frac{67u+49v}{\strut 65}X + \frac{42u-11v}{\strut 65}\cr B &= vX^2 +\frac{49u-67v}{\strut 65}X + \frac{11u+42v}{\strut 65}\cr u^2+v^2 &=65.\cr \end{aligned}\] \(67u+49v\) est divisible par \(65\) si et seulement si \(u\equiv 8v(\mathrm{mod}\,{65})\) et dans ce cas les autres numérateurs sont aussi multiples de \(65\). La condition \(u^2+v^2 = 65\) donne alors \(v=\pm1, u=\pm8\) d’où : \[A = \pm(8X^2 -9X + 5), \qquad B = \pm(X^2 +5X + 2).\]

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