Avec Maple : $P=\frac1{65\strut}Q\overline Q$ avec $Q=65X^2+(49i-67)X+(42+11i)$ et $Q$ est irréductible sur $Q[i]$ . Donc si $P=A^2+B^2 = (A+iB)(A-iB)$ avec $A,B$ polynômes à coefficients entiers alors, quitte à changer $B$ en $-B$ , il existe $\lambda\in\Q[i]$ tel que : $A+iB = \lambda Q$ et $A-iB=\overline\lambda\overline Q$ d’où : $\begin{aligned} 2A &= 65(\lambda+\overline\lambda)X^2 + ((49i-67)\lambda-(49i+67)\overline\lambda)X + ((42+11i)\lambda+(42-11i)\overline\lambda)\cr 2iB &= 65(\lambda-\overline\lambda)X^2 + ((49i-67)\lambda+(49i+67)\overline\lambda)X + ((42+11i)\lambda-(42-11i)\overline\lambda)\cr \lambda\overline\lambda&=65.\cr \end{aligned}$ En particulier $65\lambda\in \Z[i]$ , écrivons $\lambda= \frac{u+iv}{\strut 65}$ avec $u,v\in\Z$ : $\begin{aligned} A &= uX^2 -\frac{67u+49v}{\strut 65}X + \frac{42u-11v}{\strut 65}\cr B &= vX^2 +\frac{49u-67v}{\strut 65}X + \frac{11u+42v}{\strut 65}\cr u^2+v^2 &=65.\cr \end{aligned}$ $67u+49v$ est divisible par $65$ si et seulement si $u\equiv 8v(\mathrm{mod}\,{65})$ et dans ce cas les autres numérateurs sont aussi multiples de $65$ . La condition $u^2+v^2 = 65$ donne alors $v=\pm1, u=\pm8$ d’où : $A = \pm(8X^2 -9X + 5), \qquad B = \pm(X^2 +5X + 2).$

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