Les fonctions \(x\) et \(y\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathcal{D}\). Soit \(t\in\mathcal{D}\): \[\begin{array}{lcl} x(t)=t+\frac{4}{t}&\ &y(t)=\frac{t}{3}+2+\frac{3}{t+1}\\ x'(t)=1-\frac{4}{t^2}&\ &y'(t)=\frac{1}{3}-\frac{3}{(t+1)^2}\\ x'(t)>0\Longleftrightarrow |t|>2&\ &y'(t)>0\Longleftrightarrow |t+1|>3\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t>2\\ \text{ou}\\ t<-4\end{array}\right. \\ x'(t)=0\Longleftrightarrow t\in\{-2;2\} &\ &y'(t)=0\Longleftrightarrow t\in\{-4;2\} \end{array}\] \[\begin{array}{c|lcccccccccccr} t&-\infty&\ &-4& &-2& &-1& &0& &2& &+\infty\\\hline x'(t)& &+& &+&0&-&&-&&-&0&+&\\\hline \ & &\ &&&-4&&&&+\infty&&&&+\infty\\ \ & &\ &&\nearrow&&\searrow&&&&&&&\\ x&\ & &-5&&&&-5&&&\searrow&&\nearrow&\ \\ \ & &\nearrow &&&&&&\searrow&&&&&\\ \ &-\infty &\ & &&&&&&-\infty&&4&&\\\hline \ & &\ & -\frac{1}{3}&&&&+\infty&&&&&&+\infty\\ \ & &\ & &\searrow&&&&\searrow&&&&&\\ y&\ &\nearrow & &&-\frac{5}{3}&&&&5&&&\nearrow&\\ \ & &\ & &&&\searrow&&&&\searrow&&&\\ \ &-\infty & & &&&&-\infty&&&&\frac{11}{3}&&\\\hline y'(t)&& + &0 &-&&-&&-&&-&0&+&\\ \end{array}\] Le tableau de variations conjointes indique:

\(t=-4\): tangente horizontale, au point de coordonnées \((-5,-\frac{1}{3})\); \(t=-2\): tangente verticale, au point de coordonnées \((-4,-\frac{5}{3})\); \(t=-1\): une asymptote verticale, d’équation \(x=-5\); \(t=0\): une asymptote horizontale, d’équation \(y=5\); \(t=2\): il y a un point singulier en \((4,\frac{11}{3})\) (voir après).

Il reste à étudier le comportement quand \(t\to\pm\infty\): \[\frac{y(t)}{x(t)}=\frac{t^3+16t^2+6t}{3(t^3+t^2+4t+4)}\xrightarrow[t\to\pm\infty]{}\frac{1}{3}\] puis \(y(t)-\frac{1}{3}x(t)\xrightarrow[t\to\pm\infty]{}2\). La courbe a donc pour asymptote, quand \(t\to-\infty\) et quand \(t\to+\infty\), la même droite d’équation \(y=\frac{1}{3}x+2\). On constate sur le tableau de variation qu’il n’y a qu’un seul point singulier, correspondant au paramètre \(t=2\). Pour connaître l’allure de la courbe au voisinage du point \(M(2)\), on fait un développement limité de \(x\) et \(y\) au voisinage de \(t=2\). Comme ici \(x\) et \(y\) sont de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et d’expressions assez simples, on peut directement appliquer la formule de Taylor-Young: \[\left\{\begin{array}{l} x(t)=x(2)+x'(2)\cdot(t-2)+\frac{1}{2}x''(2)\cdot(t-2)^2+\frac{1}{6}x'''(2)\cdot(t-2)^3+o((t-2)^3)\\ y(t)=y(2)+y'(2)\cdot(t-2)+\frac{1}{2}y''(2)\cdot(t-2)^2+\frac{1}{6}y'''(2)\cdot(t-2)^3+o((t-2)^3) \end{array}\right.\] On sait déjà que \(x(2)=4\), \(y(2)=\frac{11}{3}\) et \(x'(2)=y'(2)=0\). De plus \(x''(t)=\frac{8}{t^3}\), \(x'''(t)=\frac{-24}{t^4}\) et \(y''(t)=\frac{6}{(t+1)^3}\), \(y'''(t)=\frac{-18}{(t+1)^4}\), ce qui donne \[M(t)=\begin{pmatrix}4 \\ \frac{11}{3}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{9}\end{pmatrix}\cdot (t-2)^2+ \begin{pmatrix}-\frac{1}{4}\\ \frac{-1}{27}\end{pmatrix}\cdot (t-2)^3+o((t-2)^3)\] C’est un point de rebroussement de première espèce. L’équation (sous forme paramétrée) de la tangente \(T_{M(2)}\) s’obtient en tronquant le développement limité: \[\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\in T_{M(2)} \Longleftrightarrow\exists\lambda\in\R,\ \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\ \frac{11}{3}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{9}\end{pmatrix}\cdot \lambda\] En éliminant le paramètre \(\lambda\), on récupère une équation cartésienne \[T_{M(2)}:\ y=\frac{11}{3}+\frac{1}{9}\cdot 2(x-4)=\frac{2}{9}x+\frac{25}{9}\]

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