Soit $f$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\Cc)$ . Pour $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ , posons $f(A)=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}\alpha_{i,j}a_{i,j}$ où les $\alpha_{i,j}$ sont indépendants de $A$ (les $\alpha_{i,j}$ sont les $f(E_{i,j})$ ).

Soient $i$ et $j$ deux entiers distincts pris dans $\llbracket1,n\rrbracket$ .

$\alpha_{i,i}=f\left(E_{i,i}\right) = f\left(E_{i,j}E_{j,i}\right) = f\left(E_{j,i}E_{i,j}\right) =f\left(E_{j,j}\right)=\alpha_{j,j}$ ,

et

$\alpha_{i,j}=f(E_{i,j}) = f(E_{i,i}E_{i,j}) = f(E_{i,j}E_{i,i}) =f(0) =0$ .

Finalement en notant $\alpha$ la valeur commune des $\alpha_{i,i}$ , $1\leqslant i\leqslant n$ , pour toute matrice $A$ on a $f(A)=\alpha\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}=\alpha\text{Tr}A$ où $\alpha$ est indépendant de $A$ . (Réciproquement, les $f=\alpha\text{Tr}$ , $\alpha\in\Cc$ , sont des formes linéaires vérifiant $\forall(A,B)\in\mathcal{M}_n(\Rr)^2$ , $f(AB)=f(BA)$ .)

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