Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\). Pour \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\), posons \(f(A)=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}\alpha_{i,j}a_{i,j}\) où les \(\alpha_{i,j}\) sont indépendants de \(A\) (les \(\alpha_{i,j}\) sont les \(f(E_{i,j})\)).

Soient \(i\) et \(j\) deux entiers distincts pris dans \(\llbracket1,n\rrbracket\).

\(\alpha_{i,i}=f\left(E_{i,i}\right) = f\left(E_{i,j}E_{j,i}\right) = f\left(E_{j,i}E_{i,j}\right) =f\left(E_{j,j}\right)=\alpha_{j,j}\),

et

\(\alpha_{i,j}=f(E_{i,j}) = f(E_{i,i}E_{i,j}) = f(E_{i,j}E_{i,i}) =f(0) =0\).

Finalement en notant \(\alpha\) la valeur commune des \(\alpha_{i,i}\), \(1\leqslant i\leqslant n\), pour toute matrice \(A\) on a \(f(A)=\alpha\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}=\alpha\text{Tr}A\) où \(\alpha\) est indépendant de \(A\). (Réciproquement, les \(f=\alpha\text{Tr}\), \(\alpha\in\Cc\), sont des formes linéaires vérifiant \(\forall(A,B)\in\mathcal{M}_n(\Rr)^2\), \(f(AB)=f(BA)\).)

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