À partir de la famille $(f_\alpha)_{\alpha\in \Rr}$ nous considérons une combinaison linéaire (qui ne correspond qu’à un nombre fini de termes).

Soient $\alpha_1 > \alpha_2 > \ldots > \alpha_n$ des réels distincts que nous avons ordonnés, considérons la famille (finie) : $(f_{\alpha_i})_{i=1,\ldots,n}$ . Supposons qu’il existe des réels $f_\alpha : \Rr \to \Rr$ tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_{\alpha_i}=0$ . Cela signifie que, quelque soit $x \in \Rr$ , alors $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_{\alpha_i}(x) = 0$ , autrement dit pour tout $x\in \Rr$ : $\lambda_1 e^{\alpha_1 x} + \lambda_2 e^{\alpha_2 x} + \cdots + \lambda_n e^{\alpha_n x}=0.$ Le terme qui domine est $e^{\alpha_1 x}$ (car $\alpha_1>\alpha_2>\cdots$ ). Factorisons par $e^{\alpha_1 x}$ : $e^{\alpha_1 x} \Big( \lambda_1 + \lambda_2 e^{(\alpha_2-\alpha_1) x} + \cdots + \lambda_n e^{(\alpha_n-\alpha_1) x} \Big) =0.$

Mais $e^{\alpha_1 x}\neq 0$ donc : $\lambda_1 + \lambda_2 e^{(\alpha_2-\alpha_1) x} + \cdots + \lambda_n e^{(\alpha_n-\alpha_1) x} =0.$ Lorsque $x\to +\infty$ alors $e^{(\alpha_i-\alpha_1) x} \to 0$ (pour tout $i\ge 2$ , car $\alpha_i-\alpha_1<0$ ). Donc pour $i\ge 2$ , $\lambda_i e^{(\alpha_i-\alpha_1) x} \to 0$ et en passant à la limite dans l’égalité ci-dessus on trouve : $\lambda_1=0.$

Le premier coefficients est donc nul. On repart de la combinaison linéaire qui est maintenant $\lambda_2 f_2+\cdots + \lambda_n f_n=0$ et en appliquant le raisonnement ci-dessus on prouve par récurrence $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$ . Donc la famille $(f_\alpha)_{\alpha\in\Rr}$ est une famille libre.

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