$\hbox{det }\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \cr 1 & 1 & 0 \cr 1 & 0 & -1 \cr \end{pmatrix}= 3\not = 0$ donc la famille $\mathcal{B} =\{ \begin{pmatrix}1 \cr 1 \cr 1 \cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}-1 \cr 1 \cr 0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr -1 \cr \end{pmatrix}\}$ est une base de ${\R}^3$ .

$\begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr 0 \cr \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 \cr 1 \cr 1 \cr \end{pmatrix} -\frac{1}{3} \begin{pmatrix}-1 \cr 1 \cr 0\cr \end{pmatrix} +\frac{1}{3} \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr -1 \cr \end{pmatrix}$ . Ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ sont donc $(1/3 , -1/3 , 1/3)$ .

$\begin{pmatrix}0 \cr 0 \cr 1 \cr \end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 \cr 1 \cr 1 \cr \end{pmatrix}-\frac{1}{3} \begin{pmatrix}-1 \cr 1 \cr 0\cr \end{pmatrix} -\frac{2}{3} \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr -1 \cr \end{pmatrix}$ . Ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ sont donc $(1/3 , -1/3 , -2/3)$ .

$\begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr 1 \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr 0 \cr \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0 \cr 0 \cr 1 \cr \end{pmatrix}$ . Donc ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ sont $(2/3 , -2/3 , -1/3)$ .

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