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Soient $e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , e_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} , e_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \hbox{ et } e_5=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ des vecteurs de ${ \Rr}^4$. Posons $F= \hbox{Vect }\{ e_1 , e_2 \} , G= \hbox{Vect }\{ e_3 , e_4 \} , G'= \hbox{Vect }\{ e_3 , e_4 , e_5 \}$. Montrer que $E=F\oplus G$ et $E\not =F\oplus G'$.

Supposons que $E$ est de dimension finie $n$, que $\hbox{dim }(F)=p$ et $E=F\oplus G$.

Calculer $\hbox{dim }(G)$.

Montrer que tout élément $x$ de $E$ se décompose d’une manière unique en une somme $x=y+z$ avec $y\in F$ et $z\in G$.

Soient $\mathcal{F} =\{ f_1 , \cdots , f_k \}$ une famille libre de $F$ et $\mathcal{G} =\{ g_1 ,\cdots , g_l \}$ une famille libre de $G$. Montrer que la famille $\mathcal{F} \cup \mathcal{G}$ est libre.

Soit $\varphi$ une application linéaire de $E$ dans ${ \Rr}^q$, $q\in { \Nn}$. Construire deux applications linéaires $\psi$ et $\psi '$ de $E$ dans ${ \Rr}^q$ telles que : $\forall y \in F : \psi '(y)=0 , \forall z \in G : \psi (z)=0$ et $\forall x \in E : \varphi (x)=\psi (x)+\psi ' (x)$.