Soient \(E\) un espace vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). On dit que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) lorsque \(F\cap G =\{ 0 \}\) et \(E=F+G\). On note \(E=F\oplus G\).
Soient \(e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , e_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} , e_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \hbox{ et } e_5=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\) des vecteurs de \({ \Rr}^4\). Posons \(F= \hbox{Vect }\{ e_1 , e_2 \} , G= \hbox{Vect }\{ e_3 , e_4 \} , G'= \hbox{Vect }\{ e_3 , e_4 , e_5 \}\). Montrer que \(E=F\oplus G\) et \(E\not =F\oplus G'\).
Supposons que \(E\) est de dimension finie \(n\), que \(\hbox{dim }(F)=p\) et \(E=F\oplus G\).
Calculer \(\hbox{dim }(G)\).
Montrer que tout élément \(x\) de \(E\) se décompose d’une manière unique en une somme \(x=y+z\) avec \(y\in F\) et \(z\in G\).
Soient \(\mathcal{F} =\{ f_1 , \cdots , f_k \}\) une famille libre de \(F\) et \(\mathcal{G} =\{ g_1 ,\cdots , g_l \}\) une famille libre de \(G\). Montrer que la famille \(\mathcal{F} \cup \mathcal{G}\) est libre.
Soit \(\varphi\) une application linéaire de \(E\) dans \({ \Rr}^q\), \(q\in { \Nn}\). Construire deux applications linéaires \(\psi\) et \(\psi '\) de \(E\) dans \({ \Rr}^q\) telles que : \(\forall y \in F : \psi '(y)=0 , \forall z \in G : \psi (z)=0\) et \(\forall x \in E : \varphi (x)=\psi (x)+\psi ' (x)\).