$x^2y'-y = 0$ $(E_1)$ Pour se ramener à l’étude d’une équation différentielle de la forme $y'+ay=b$ , on résout d’abord sur les intervalles où le coefficient de $y'$ ne s’annule pas: on se place donc sur $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ . Résolution sur $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ . Sur chacun de ces intervalles, l’équation différentielle se réécrit $y'-\frac{1}{x^2}y=0$ qui est une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 à coefficients non constants. Ses solutions sont de la forme $y(x)=\lambda e^{-1/x}$ (en effet, sur $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ , une primitive de $\frac{1}{x^2}$ est $\frac{-1}{x}$ ). Recollement en $0$ . Une solution $y$ de $(E_1)$ sur $\R$ doit être solution sur $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$ , il existe donc $\lambda_+,\ \lambda_-\in\R$ tels que $y(x)=\left\lbrace\begin{array}{l} \lambda_+e^{-1/x}\ \mathrm{si}\ x>0\\ \lambda_-e^{-1/x}\ \mathrm{si}\ x<0 \end{array}\right.$ Il reste à voir si l’on peut recoller les deux expressions pour obtenir une solution sur $\R$ : autrement dit, pour quels choix de $\lambda_+,\ \lambda_-$ la fonction $y$ se prolonge-t-elle en 0 en une fonction dérivable vérifiant $(E_1)$ ?

$e^{-1/x}\xrightarrow[x\to\,0^-]{}+\infty$ et $e^{-1/x}\xrightarrow[x\to\,0^+]{}0$ , donc $y$ est prolongeable par continuité en 0 si et seulement si $\lambda_-=0$ . On peut alors poser $y(0)=0$ , quel que soit le choix de $\lambda_+$ .
Pour voir si la fonction ainsi prolongée est dérivable en 0, on étudie son taux d’accroissement: $\left\{\begin{array}{l} \text{pour}\ x>0,\ \frac{y(x)-y(0)}{x-0}=\frac{\lambda_+e^{-1/x}}{x}=-\lambda_+(\frac{-1}{x})e^{-1/x}\xrightarrow[x\to\,0^+]{}0\\ \ \\ \text{pour}\ x<0,\ \frac{y(x)-y(0)}{x-0}=0\xrightarrow[x\to\,0^-]{}0 \end{array}\right.$ Ainsi la fonction $y$ est dérivable en 0 et $y'(0)=0$ .
Par construction, l’équation différentielle $(E_1)$ est satisfaite sur $\R^*$ . Vérifions qu’elle est également satisfaite au point $x=0$ : $0^2 \cdot y'(0)-y(0)=-y(0)=0$ .

Conclusion. Finalement, les solutions sur $\R$ sont exactement les fonctions suivantes: $y(x)=\left\lbrace\begin{array}{l} \lambda e^{-1/x}\quad \text{si}\ x>0\\ 0\qquad \text{si}\ x\le 0 \end{array}\right. \qquad (\lambda\in\R)$

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