Pour \(n\in\N^*\) et \(x\in[-1,1]\) on pose \(u_n(x)=\frac{x^n\sin(nx)}n\).
1
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\) converge uniformément sur \([-1,1]\) vers une fonction continue, \(f\).
2
Justifier la dérivabilité de \(f\) sur \(]-1,1[\) et calculer \(f'(x)\). En déduire \(f(x)\).
3
En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}n\).