L2 Analyse Suite et série de fonctions Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 3 questions

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Pour n∈N∗n\in\N^* et x∈[−1,1]x\in[-1,1] on pose un(x)=xnsin⁡(nx)nu_n(x)=\frac{x^n\sin(nx)}n.

1

Montrer que la série ∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^\infty u_n(x) converge uniformément sur [−1,1][-1,1] vers une fonction continue, ff.

2

Justifier la dérivabilité de ff sur ]−1,1[]-1,1[ et calculer f′(x)f'(x). En déduire f(x)f(x).

3

En déduire la valeur de ∑n=1∞sin⁡nn\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}n.

Exercice nmhl

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