\(\chi_A=\left| \begin{array}{ccc} 3-X&2&2\\ 1&-X&1\\ -1&1&-X \end{array} \right|=(3-X)(X^2-1)-(-2X-2)-(2X+2)=-(X+1)(X-1)(X-3)\).

Soit \(n\in\Nn\). La division euclidienne de \(X^n\) par \(\chi_A\) s’écrit \(X^n=Q_n\times\chi_A+a_nX^2+b_nX+c_n\) où \(Q_n\in\Rr[X]\) et \((a_n,b_n,c_n)\in\Rr^3\). En évaluant les deux membres de cette égalité en \(-1\), \(1\) et \(3\), on obtient

\(\left\{ \begin{array}{l} a_n-b_n+c_n=(-1)^n\\ a_n+b_n+c_n=1\\ 9a_n+3b_n+c_n=3^n \end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} b_n= \frac{1}{2}(1-(-1)^n)\\ a_n+c_n= \frac{1}{2}(1+(-1)^n)\\ 8a_n+ \frac{3}{2}(1-(-1)^n)+ \frac{1}{2}(1+(-1)^n)=3^n \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} a_n= \frac{1}{8}(3^n-2+(-1)^n)\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}b_n= \frac{1}{2}(1-(-1)^n)\\ c_n= \frac{1}{8}(-3^n+6+3(-1)^n) \end{array} \right.\).

Le théorème de Cayley-Hamilton fournit alors

\(\forall n\in\Nn\), \(A^n= \frac{1}{8}((3^n-2+(-1)^n)A^2+4(1-(-1)^n)A+(-3^n+6+3(-1)^n)I_3)\).

Maintenant,

\(A^2=\left( \begin{array}{ccc} 3&2&2\\ 1&0&1\\ -1&1&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 3&2&2\\ 1&0&1\\ -1&1&0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 9&8&8\\ 2&3&2\\ -2&-2&-1 \end{array} \right)\)

et donc, pour tout réel \(t\),

\[\begin{align*}\ensuremath \text{exp}(tA)&=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}. \frac{1}{8}((3^n-2+(-1)^n)A^2+4(1-(-1)^n)A+(-3^n+6+3(-1)^n)I_3)\\ &= \frac{e^{3t}-2e^t+e^{-t}}{8}\left( \begin{array}{ccc} 9&8&8\\ 2&3&2\\ -2&-2&-1 \end{array} \right)+ \frac{4(e^t-e^{-t})}{8}\left( \begin{array}{ccc} 3&2&2\\ 1&0&1\\ -1&1&0 \end{array} \right)+ \frac{-e^{3t}+6e^t+3e^{-t}}{8}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)\\ &= \frac{1}{8}\left( \begin{array}{ccc} 8e^{3t}&8e^{3t}-8e^t&8e^{3t}-8e^t\\ 2e^{3t}-2e^{-t}&2e^{3t}+6e^{-t}&2e^{3t}-2e^{-t}\\ -2e^{3t}+2e^{-t}&-2e^{3t}+8e^t-6e^{-t}&2e^{3t}+8e^t+2e^{-t} \end{array} \right)\\ &= \frac{1}{4}\left( \begin{array}{ccc} 4e^{3t}&4e^{3t}-4e^t&4e^{3t}-4e^t\\ e^{3t}-e^{-t}&e^{3t}+3e^{-t}&e^{3t}-e^{-t}\\ -e^{3t}+e^{-t}&-e^{3t}+4e^t-3e^{-t}&e^{3t}+4e^t+e^{-t} \end{array} \right). \end{align*}\]

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