Soit $A\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ . Soit $k\in\Nn$ . Puisque $\chi_A$ est de degré $n$ , la division euclidienne de $X^k$ par $\chi_A$ s’écrit

$X^k=Q_k\times\chi_A+a_{n-1}^{(k)}X^{n-1}+\ldots+a_1^{(k)}X+a_0^{(k)}$ où $Q_k\in\Rr[\Cc]$ et $(a_0^{(k)},\ldots,a_{n-1}^{(k)})\in\Cc^n$ .

Le théorème de Cayley-Hamilton montre alors que $A^k=a_{n-1}^{(k)}A^{n-1}+\ldots+a_1^{(k)}A+a_0^{(k)}I_n$ .

Ainsi, $\forall k\in\Nn$ , $A^k\in\text{Vect}(A^{n-1},\ldots,A,I_n)$ puis $\forall p\in\Nn$ , $\sum_{k=0}^{p} \frac{A^k}{k!}\in\text{Vect}(A^{n-1},A^{n-2},\ldots,A,I_n)$ . Enfin, puisque

$\text{Vect}(A^{n-1},A^{n-2},\ldots,A,I_n)$ est un fermé de $\mathcal{M}_n(\Cc)$ en tant que sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie, $\text{exp}(A)=\lim_{p \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{p} \frac{A^k}{k!}\in\text{Vect}(A^{n-1},A^{n-2},\ldots,A,I_n)$ .

On a montré que

$\forall A\in\mathcal{M}_n(\Cc)$ , $\text{exp}(A)\in\Cc_{n-1}[A]$ .

exo7 5873