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Déterminer le domaine de définition de $\zeta$. Montrer que $\zeta$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur ce domaine.

Prouver que $\zeta(x) \to 1$ lorsque $x\to+\infty$ $\Bigl($majorer $\sum_{n=2}^\infty \frac1{n^x}$ par comparaison à une intégrale$\Bigr)$.

Prouver que $\zeta(x) \to +\infty$ lorsque $x\to1^+$.