Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\).
1
Déterminer le domaine de définition de \(\zeta\). Montrer que \(\zeta\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur ce domaine.
2
Prouver que \(\zeta(x) \to 1\) lorsque \(x\to+\infty\) \(\Bigl(\)majorer \(\sum_{n=2}^\infty \frac1{n^x}\) par comparaison à une intégrale\(\Bigr)\).
3
Prouver que \(\zeta(x) \to +\infty\) lorsque \(x\to1^+\).