Par suite, pour \(t\in]0,1[\),

\(\frac{\ln(t)\ln(1-t)}{t}=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{t^{n-1}\ln t}{n}\).

Pour \(t\in]0,1[\), posons \(f(t)=\frac{\ln(t)\ln(1-t)}{t}\) puis pour \(t\in]0,1]\) et \(n\in\Nn^*\), posons \(f_n(t)=-\frac{t^{n-1}\ln t}{n}\).

Soit \(n\in\Nn^*\). La fonction \(f_n\) est continue sur \(]0,1]\) et négligeable devant \(\frac{1}{\sqrt{t}}\) quand \(t\) tend vers \(0\). La fonction \(f_n\) est donc intégrable sur \(]0,1]\). En particulier, la fonction \(f_n\) est donc intégrable sur \(]0,1[\). Calculons alors \(\int_{0}^{1}f_n(t)\;dt\).

Soit \(a\in]0,1[\). Les deux fonctions \(t\mapsto\frac{t^n}{n}\) et \(t\mapsto-\ln t\) sont de classe \(C^1\) sur le segment \([a,1]\). On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

\(\int_{a}^{1}t^{n-1}(-\ln t)\;dt=\left[-\frac{t^n\ln t}{n}\right]_a^1+\frac{1}{n}\int_{a}^{1}t^{n-1}\;dt=\frac{a^n\ln a}{n}+\frac{1}{n^2}(1-a^n)\).

Quand \(a\) tend vers \(0\), on obtient \(\int_{0}^{1}-t^{n-1}\ln t\;dt=\frac{1}{n^2}\) et donc \(\int_{0}^{1}f_n(t)\;dt=\frac{1}{n^3}\). Puisque la fonction \(f_n\) est positive sur \(]0,1[\), on a encore \(\int_{0}^{1}|f_n(t)|\;dt=\frac{1}{n^3}\). On en déduit que la série numérique de terme général \(\int_{0}^{1}|f_n(t)|\;dt\) converge.

En résumé,

chaque fonction \(f_n\) est continue par morceaux et intégrable sur \(]0,1[\),

la séries de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\in\Nn^*\), converge simplement vers la fonction \(f\) sur \(]0,1[\) et la fonction \(f\)

est continue sur \(]0,1[\),

\(\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{1}|f_n(t)|\;dt<+\infty\).

D’après un théorème d’intégration terme à terme,

\(\int_{0}^{1}\frac{\ln(t)\ln(1-t)}{t}\;dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{1}\frac{-t^{n-1}\ln t}{n}\;dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}\).

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