Par suite, pour $t\in]0,1[$ ,

$\frac{\ln(t)\ln(1-t)}{t}=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{t^{n-1}\ln t}{n}$ .

Pour $t\in]0,1[$ , posons $f(t)=\frac{\ln(t)\ln(1-t)}{t}$ puis pour $t\in]0,1]$ et $n\in\Nn^*$ , posons $f_n(t)=-\frac{t^{n-1}\ln t}{n}$ .

Soit $n\in\Nn^*$ . La fonction $f_n$ est continue sur $]0,1]$ et négligeable devant $\frac{1}{\sqrt{t}}$ quand $t$ tend vers $0$ . La fonction $f_n$ est donc intégrable sur $]0,1]$ . En particulier, la fonction $f_n$ est donc intégrable sur $]0,1[$ . Calculons alors $\int_{0}^{1}f_n(t)\;dt$ .

Soit $a\in]0,1[$ . Les deux fonctions $t\mapsto\frac{t^n}{n}$ et $t\mapsto-\ln t$ sont de classe $C^1$ sur le segment $[a,1]$ . On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

$\int_{a}^{1}t^{n-1}(-\ln t)\;dt=\left[-\frac{t^n\ln t}{n}\right]_a^1+\frac{1}{n}\int_{a}^{1}t^{n-1}\;dt=\frac{a^n\ln a}{n}+\frac{1}{n^2}(1-a^n)$ .

Quand $a$ tend vers $0$ , on obtient $\int_{0}^{1}-t^{n-1}\ln t\;dt=\frac{1}{n^2}$ et donc $\int_{0}^{1}f_n(t)\;dt=\frac{1}{n^3}$ . Puisque la fonction $f_n$ est positive sur $]0,1[$ , on a encore $\int_{0}^{1}|f_n(t)|\;dt=\frac{1}{n^3}$ . On en déduit que la série numérique de terme général $\int_{0}^{1}|f_n(t)|\;dt$ converge.

En résumé,

chaque fonction $f_n$ est continue par morceaux et intégrable sur $]0,1[$ ,

la séries de fonctions de terme général $f_n$ , $n\in\Nn^*$ , converge simplement vers la fonction $f$ sur $]0,1[$ et la fonction $f$

est continue sur $]0,1[$ ,

$\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{1}|f_n(t)|\;dt<+\infty$ .

D’après un théorème d’intégration terme à terme,

$\int_{0}^{1}\frac{\ln(t)\ln(1-t)}{t}\;dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{1}\frac{-t^{n-1}\ln t}{n}\;dt=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}$ .

$\int_{0}^{1}\frac{\ln(t)\ln(1-t)}{t}\;dt =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}$ .

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