L2 Analyse Suite et série de fonctions Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 2 questions

exo7 4553

Soit S(t)=∑n=1∞tn1−tnS(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1-t^n}.

1

Pour quelles valeurs de tt, SS est-elle définie ? Est-elle continue ?

2

Montrer qu’au voisinage de 1−1^- on a S(t)=−ln⁡(1−t)1−t+O(11−t)S(t) = -\frac{\ln(1-t)}{1-t} + O\Bigl(\frac1{1-t}\Bigr). On pourra développer ln⁡(1−t)\ln(1-t) en série entière.

Exercice jNul

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