L2 Analyse Suite et série de fonctions Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 4510

Soit f:R+→Rf : {\R^+} \to \R continue, non identiquement nulle, telle que f(0)=0f(0) = 0 et f(x)→0f(x) \to 0 lorsque x→+∞x\to+\infty.

On pose fn(x)=f(nx)f_n(x) = f(nx) et gn(x)=f(xn)g_n(x) = f\left(\frac xn\right).

1

Donner un exemple de fonction ff.

2

Montrer que fnf_n et gng_n convergent simplement vers la fonction nulle, et que la convergence n’est pas uniforme sur R+\R^+.

3

Si ∫t=0+∞f(t) dt\int_{t=0}^{+\infty} f(t)\,d t converge, chercher lim⁡n→∞∫t=0+∞fn(t) dt\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^{+\infty} f_n(t)\,d t et lim⁡n→∞∫t=0+∞gn(t) dt\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^{+\infty} g_n(t)\,d t.

Exercice 8xrq

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