Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue, non identiquement nulle, telle que \(f(0) = 0\) et \(f(x) \to 0\) lorsque \(x\to+\infty\).
On pose \(f_n(x) = f(nx)\) et \(g_n(x) = f\left(\frac xn\right)\).
1
Donner un exemple de fonction \(f\).
2
Montrer que \(f_n\) et \(g_n\) convergent simplement vers la fonction nulle, et que la convergence n’est pas uniforme sur \(\R^+\).
3
Si \(\int_{t=0}^{+\infty} f(t)\,d t\) converge, chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^{+\infty} f_n(t)\,d t\) et \(\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^{+\infty} g_n(t)\,d t\).