Convergence simple. Soit $t\in\Rr$ . Pour tout entier naturel non nul $n$ , $1+\frac{t^2}{n(1+t^2)}\geqslant1>0$ et donc $f_n(t)$ existe. Ensuite, $\ln\left(1+\frac{t^2}{n(1+t^2)}\right)>0$ et donc la suite numérique $(f_n(t))_{n\in\Nn^*}$ est alternée en signe. De plus, $|f_n(t)|=\ln\left(1+\frac{t^2}{n(1+t^2)}\right)$ et la suite $(|f_n(t)|)_{n\in\Nn^*}$ tend vers $0$ en décroissant.

On en déduit que la série de terme général $f_n(t)$ , $n\geqslant1$ , converge en vertu du critère spécial aux séries alternées.

La série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\geqslant1$ , converge simplement sur $\Rr$ .

On pose alors $f=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n$ .

Convergence uniforme. Soit $n\in\Nn^*$ . D’après une majoration classique du reste à l’ordre $n$ d’une série alternée, pour tout réel $t$ on a

$\begin{align*}\ensuremath |R_n(t)|&=\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}f_k(t)\right|\leqslant|f_{n+1}(t)|=\ln\left(1+\frac{t^2}{(n+1)(1+t^2)}\right)=\ln\left(1+\frac{t^2+1-1}{(n+1)(1+t^2)}\right)=\ln\left(1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)(1+t^2)}\right)\\ &\leqslant\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right), \end{align*}$

et donc, $\forall n\in\Nn^*$ , $\underset{t\in\Rr}{\text{sup}}|R_n(t)|\leqslant\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)$ . Comme $\lim_{n \rightarrow +\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)=0$ , on a encore $\lim_{n \rightarrow +\infty}\underset{t\in\Rr}{\text{sup}}|R_n(t)|=0$ et on a montré que

La série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\geqslant1$ , converge uniformément vers $f$ sur $\Rr$ .

Continuité. Puisque chaque fonction $f_n$ , $n\geqslant1$ , est continue sur $\Rr$ , la fonction $f$ est continue sur $\Rr$ en tant que limite uniforme sur $\Rr$ d’une suite de fonctions continues sur $\Rr$ .

$f$ est continue sur $\Rr$ .

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