Convergence simple. Soit \(t\in\Rr\). Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(1+\frac{t^2}{n(1+t^2)}\geqslant1>0\) et donc \(f_n(t)\) existe. Ensuite, \(\ln\left(1+\frac{t^2}{n(1+t^2)}\right)>0\) et donc la suite numérique \((f_n(t))_{n\in\Nn^*}\) est alternée en signe. De plus, \(|f_n(t)|=\ln\left(1+\frac{t^2}{n(1+t^2)}\right)\) et la suite \((|f_n(t)|)_{n\in\Nn^*}\) tend vers \(0\) en décroissant.

On en déduit que la série de terme général \(f_n(t)\), \(n\geqslant1\), converge en vertu du critère spécial aux séries alternées.

On pose alors \(f=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n\).

Convergence uniforme. Soit \(n\in\Nn^*\). D’après une majoration classique du reste à l’ordre \(n\) d’une série alternée, pour tout réel \(t\) on a

\[\begin{align*}\ensuremath |R_n(t)|&=\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}f_k(t)\right|\leqslant|f_{n+1}(t)|=\ln\left(1+\frac{t^2}{(n+1)(1+t^2)}\right)=\ln\left(1+\frac{t^2+1-1}{(n+1)(1+t^2)}\right)=\ln\left(1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)(1+t^2)}\right)\\ &\leqslant\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right), \end{align*}\]

et donc, \(\forall n\in\Nn^*\), \(\underset{t\in\Rr}{\text{sup}}|R_n(t)|\leqslant\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\). Comme \(\lim_{n \rightarrow +\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)=0\), on a encore \(\lim_{n \rightarrow +\infty}\underset{t\in\Rr}{\text{sup}}|R_n(t)|=0\) et on a montré que

Continuité. Puisque chaque fonction \(f_n\), \(n\geqslant1\), est continue sur \(\Rr\), la fonction \(f\) est continue sur \(\Rr\) en tant que limite uniforme sur \(\Rr\) d’une suite de fonctions continues sur \(\Rr\).

exo7 5734