1
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([a,b]\) telle que \((f_n')\) converge uniformément vers \(g\) et il existe \(x_1\) tel que \((f_n(x_1))\) converge. Montrer que \((f_n)\) converge uniformément sur \([a,b]\) vers \(f\) telle que \(f'=g\).
2
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^p\) sur \([a,b]\) telle que \((f_n^{(p)})\) converge uniformément vers \(g\) et il existe \(x_1,\dots,x_p\) distincts tels que \((f_n(x_i))\) converge. Montrer que \((f_n)\) converge uniformément sur \([a,b]\) vers \(f\) telle que \(f^{(p)}=g\).