Ainsi, pour $x\in]-1,1[$

$\begin{align*}\ensuremath f'(x)&=\sum_{n=1}^{+\infty}(x^{n-1}\sin(nx)+x^n\cos(nx))=\text{Im}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n-1}e^{inx}\right)+\text{Re}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n}e^{inx}\right)\\ &=\text{Im}\left(\frac{e^{ix}}{1-xe^{ix}}\right)+\text{Re}\left(\frac{xe^{ix}}{1-xe^{ix}}\right)=\text{Im}\left(\frac{e^{ix}(1-xe^{-ix})}{x^2-2x\cos x+1}\right) +\text{Re}\left(\frac{xe^{ix}(1-xe^{-ix})}{x^2-2x\cos x+1}\right)\\ &=\frac{\sin x+x\cos x-x^2}{x^2-2x\cos x+1} . \end{align*}$

Mais, pour $x\in]-1,1[$ ,

$\left(\frac{x\sin x}{1-x\cos x}\right)'=\frac{(\sin x+x\cos x)(1-x\cos x)-x\sin x(-\cos x+x\sin x)}{(1-x\cos x)^2}=\frac{\sin x+x\cos x-x^2}{(1-x\cos x)^2}$ .

et donc

$\begin{align*}\ensuremath \left(\Arctan\left(\frac{x\sin x}{1-x\cos x}\right)\right)'&=\frac{\sin x+x\cos x-x^2}{(1-x\cos x)^2}\times\frac{1}{1+\left(\frac{x\sin x}{1-x\cos x}\right)^2}=\frac{\sin x+x\cos x-x^2}{(1-x\cos x)^2+x^2\sin^2x}\\ &=\frac{\sin x+x\cos x-x^2}{x^2-2x\cos x+1}= f'(x). \end{align*}$

Finalement, pour $x\in]-1,1[$ ,

$f(x)=f(0)+\int_{0}^{x}f'(t)\;dt=0+\Arctan\left(\frac{x\sin x}{1-x\cos x}\right)-\Arctan(0)=\Arctan\left(\frac{x\sin x}{1-x\cos x}\right)$ .

$\forall x\in]-1,1[$ , $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}=\Arctan\left(\frac{x\sin x}{1-x\cos x}\right)$ .

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