Pour \(x\in]-1,1[\) et \(n\) entier naturel non nul, posons \(f_n(x)=\frac{x^n\sin(nx)}{n}\).

Soit \(x\in]-1,1[\). Pour \(n\) entier naturel non nul, \(|f_n(x)|\leqslant|x|^n\). Or, la série géométrique de terme général \(|x|^n\), \(n\geqslant1\), est convergente et donc la série numérique de terme général \(f_n(x)\) est absolument convergente et en particulier convergente. On en déduit que \(f(x)\) existe.

Soit \(a\in]0,1[\). Chaque \(f_n\), \(n\geqslant1\), est de classe \(C^1\) sur \([-a,a]\) et pour \(x\in[-a,a]\),

\(f_n'(x) =x^{n-1}\sin(nx)+x^n\cos(nx)\).

Pour \(x\in[-a,a]\) et \(n\in\Nn^*\),

\(|f_n'(x)|\leqslant a^{n-1}+a^n\leqslant2a^{n-1}\).

Puisque la série numérique de terme général \(2a^{n-1}\), \(n\geqslant1\), converge, la série de fonctions de terme général \(f_n'\), \(n\geqslant1\), est normalement et donc uniformément sur \([-a,a]\).

En résumé,

la série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\geqslant1\), converge simplement vers \(f\) sur \([-a,a]\),

chaque fonction \(f_n\), \(n\geqslant1\), est de classe \(C^1\) sur \([-a,a]\),

la série de fonctions de terme général \(f_n'\) converge uniformément sur \([-a,a]\).

D’après un corollaire du théorème de dérivation terme à terme, \(f\) est de classe \(C^1\) sur \([-a,a]\) pour tout réel \(a\) de \(]0,1[\) et donc sur \(]-1,1[\) et sa dérivée s’obtient par dérivation terme à terme.

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