exo7 4514

On définit une suite de fonctions ${f_n} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}$ par récurrence : $\begin{cases} f_0(x) = x \cr f_{n+1}(x) = \frac 12\left({f_n(x) + \frac x{f_n(x)}}\right).\cr \end{cases}$

Étudier la convergence simple, puis uniforme des $f_n$ $\left({\text{considérer } g_n(x)= \frac {f_n(x) - \sqrt x}{f_n(x) + \sqrt x}}\right)$.