Soit \(n\in\Nn\).

\(\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{1+ka}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\int_{0}^{1}t^{ka}\;dt=\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=0}^{n}(-t^a)^k\right)\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^a}\;dt+(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{(n+1)a}}{1+t^a}\;dt\),

avec \(\left|(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{(n+1)a}}{1+t^a}\;dt\right|\leqslant\int_{0}^{1}t^{(n+1)a}\;dt=\frac{1}{1+(n+1)a}\). Par suite, \(\lim_{n \rightarrow +\infty}(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{(n+1)a}}{1+t^a}\;dt=0\). On en déduit que la série de terme général \(\frac{(-1)^k}{1+ka}\), \(k\geqslant 0\), converge et que

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