C’est presque le même exercice que l’exercice [ex:rou3bis]. Pour tout réel \(x>0\),

\(\frac{x}{\sh x}=\frac{2xe^{-x}}{1-e^{-2x}}=2xe^{-x}\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-2nx}=\sum_{n=0}^{+\infty}2xe^{-(2n+1)x}\),

puis avec la même démarche que dans l’exercice précédent

\[\begin{align*}\ensuremath \int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx&=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}2xe^{-(2n+1)x}\;dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2}{(2n+1)^2}\int_{0}^{+\infty}ue^{-u}\;du=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2\Gamma(2)}{(2n+1)^2}\\ &=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=2\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^2}\right)=2\left(1-\frac{1}{4}\right)\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{4}. \end{align*}\]

exo7 5741