Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\) telle que \(\|A\|<1\). Pour tout entier naturel \(n\), on a \(\|A^n\|\leqslant\|A\|^n\). Puisque \(\|A\|<1\), la série numérique de terme général \(\|A\|^n\), \(n\in\Nn\), converge. Il en est de même de la série de terme général \(\|A^n\|\) et donc la série de terme général \(A^n\), \(n\in\Nn\), converge absolument. Puisque \(\mathcal{M}_p(\Cc)\) est complet en tant que \(\Cc\) espace de dimension finie, on en déduit que la série de terme général \(A^n\), \(n\in\Nn\), converge. De plus,

\[\begin{align*}\ensuremath (I-A)\sum_{n=0}^{+\infty}A^n&=(I-A)\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}A^k\right)=\lim_{n \rightarrow +\infty}\left((I-A)\sum_{k=0}^{n}A^k\right)\;(\text{par continuité de l'application}\;M\mapsto(I-A)M)\\ &=\lim_{n \rightarrow +\infty}(I-A^{n+1})=I\;(\lim_{n \rightarrow +\infty}A^{n+1}=0\;\text{car}\;\forall n\in\Nn,\;\|A^{n+1}\|\leqslant\|A\|^{n+1}). \end{align*}\]

Ainsi, la matrice \(I-A\) est inversible à droite et donc inversible et de plus, \((I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}A^n\). On en déduit encore

\(\|(I-A)^{-1}-(I+A)\|=\left\|\sum_{n=2}^{+\infty}A^n\right\|\leqslant\sum_{n=2}^{+\infty}\|A\|^n= \frac{\|A\|^2}{1-\|A\|}\).

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