Soit $A\in\mathcal{M}_p(\Cc)$ telle que $\|A\|<1$ . Pour tout entier naturel $n$ , on a $\|A^n\|\leqslant\|A\|^n$ . Puisque $\|A\|<1$ , la série numérique de terme général $\|A\|^n$ , $n\in\Nn$ , converge. Il en est de même de la série de terme général $\|A^n\|$ et donc la série de terme général $A^n$ , $n\in\Nn$ , converge absolument. Puisque $\mathcal{M}_p(\Cc)$ est complet en tant que $\Cc$ espace de dimension finie, on en déduit que la série de terme général $A^n$ , $n\in\Nn$ , converge. De plus,

$\begin{align*}\ensuremath (I-A)\sum_{n=0}^{+\infty}A^n&=(I-A)\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}A^k\right)=\lim_{n \rightarrow +\infty}\left((I-A)\sum_{k=0}^{n}A^k\right)\;(\text{par continuité de l'application}\;M\mapsto(I-A)M)\\ &=\lim_{n \rightarrow +\infty}(I-A^{n+1})=I\;(\lim_{n \rightarrow +\infty}A^{n+1}=0\;\text{car}\;\forall n\in\Nn,\;\|A^{n+1}\|\leqslant\|A\|^{n+1}). \end{align*}$

Ainsi, la matrice $I-A$ est inversible à droite et donc inversible et de plus, $(I-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}A^n$ . On en déduit encore

$\|(I-A)^{-1}-(I+A)\|=\left\|\sum_{n=2}^{+\infty}A^n\right\|\leqslant\sum_{n=2}^{+\infty}\|A\|^n= \frac{\|A\|^2}{1-\|A\|}$ .

exo7 5867