$\chi_A=\left| \begin{array}{cc} 4/3-X&-5/6\\ 5/3&-7/6-X \end{array} \right|=X^2- \frac{1}{6}X- \frac{1}{6}=\left(X- \frac{1}{2}\right)\left(X+ \frac{1}{3}\right)$ . Par suite, $A=PDP^{-1}$ où $D=\text{diag}\left( \frac{1}{2},- \frac{1}{3}\right)$ , $P=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 1&2 \end{array} \right)$ et donc $P^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 2&-1\\ -1&1 \end{array} \right)$ .

Soit $n\in\Nn$ .

$\sum_{k=0}^{n}A^k=P\left(\sum_{k=0}^{n}D^k\right)P^{-1}=P\;\text{diag}\left(\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{1}{2}\right)^k,\sum_{k=0}^{n}\left(- \frac{1}{3}\right)^k\right)P^{-1}$ .

Puisque $\frac{1}{2}$ et $- \frac{1}{3}$ sont dans $]-1,1[$ , les séries numériques de termes généraux respectifs $\left( \frac{1}{2}\right)^k$ et $\left(- \frac{1}{3}\right)^k$ convergent. Il en est de même de la série de terme général $D^k$ . Maintenant, l’application $M\mapsto PMP^{-1}$ , converge est continue car linéaire sur un espace de dimension finie et on en déduit que la série de terme général $A^k$ converge. De plus,

$\begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}A^n&=\sum_{n=0}^{+\infty}PD^nP^{-1}=P\left(\sum_{n=0}^{+\infty}D^n\right)P^{-1}\;(\text{par continuité de l'application}\;M\mapsto PMP^{-1})\\ &=P\;\text{diag}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{1}{2}\right)^n,\sum_{n=0}^{+\infty}\left(- \frac{1}{3}\right)^n\right)P^{-1}=P\;\text{diag}\left( \frac{1}{1- \frac{1}{2}}, \frac{1}{1+ \frac{1}{3}}\right)P^{-1}\\ &=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 1&2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 2&0\\ 0& \frac{3}{4} \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 2&-1\\ -1&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \rule[-4mm]{0mm}{0mm}2& \frac{3}{4}\\ 2& \frac{3}{2} \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 2&-1\\ -1&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \rule[-4mm]{0mm}{0mm} \frac{13}{4}&- \frac{5}{4}\\ \frac{5}{2}&- \frac{1}{2} \end{array} \right). \end{align*}$

$\sum_{n=0}^{+\infty}A^n=\left( \begin{array}{cc} \rule[-4mm]{0mm}{0mm} \frac{13}{4}&- \frac{5}{4}\\ \frac{5}{2}&- \frac{1}{2} \end{array} \right)$ .

Remarque. D’après l’exercice suivant, la matrice obtenue est $(I-A)^{-1}$ .

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