Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \([a,b]\to[c,d]\) continues, bijectives, strictement croissantes, convergeant simplement vers une fonction \(f\) : \([a,b]\to[c,d]\) elle aussi continue, bijective strictement croissante.
1
Montrer qu’il y a convergence uniforme (deuxième théorème de Dini, considérer une subdivision de \([a,b]\)).
2
Montrer que les fonctions réciproques \(f_n^{-1}\) convergent simplement vers une fonction \(g\) et que \(g = f^{-1}\).
3
Montrer que \((f_n^{-1})\) converge uniformément vers \(f^{-1}\).