L2 Analyse Suite et série de fonctions Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 3 questions

exo7 4549

Soit (fn)(f_n) une suite de fonctions [a,b]→[c,d][a,b]\to[c,d] continues, bijectives, strictement croissantes, convergeant simplement vers une fonction ff : [a,b]→[c,d][a,b]\to[c,d] elle aussi continue, bijective strictement croissante.

1

Montrer qu’il y a convergence uniforme (deuxième théorème de Dini, considérer une subdivision de [a,b][a,b]).

2

Montrer que les fonctions réciproques fn−1f_n^{-1} convergent simplement vers une fonction gg et que g=f−1g = f^{-1}.

3

Montrer que (fn−1)(f_n^{-1}) converge uniformément vers f−1f^{-1}.

Exercice SAWm

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