Domaine de définition. Soit \(t\in\Rr\). Pour chaque \(n\in\Nn^*\), \(f_n(t)\) existe et de plus \(f_n(t)=\frac{\Arctan(nt)}{n^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}O\left(\frac{1}{n^2}\right)\). Donc la série numérique de terme général \(f_n(t)\), \(n\geqslant1\), converge absolument et en particulier converge. On a montré que

Parité. Pour tout réel \(t\),

\(f(-t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Arctan(-nt)}{n^2}=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Arctan(nt)}{n^2}=-f(t)\).

Convergence normale. Pour tout réel \(t\) et tout entier naturel non nul \(n\), \(|f_n(t)|\leqslant\frac{\pi}{2n^2}\) et donc pour tout entier naturel non nul \(n\),

\(\underset{t\in\Rr}{\text{sup}}|f_n(t)|\leqslant\frac{\pi}{2n^2}\).

Comme la série numérique de terme général \(\frac{\pi}{2n^2}\), \(n\geqslant1\), converge, la série de fonctions de terme général \(f_n\) converge normalement et donc uniformément vers \(f\) sur \(\Rr\).

Limite de \(f\) en \(+\infty\). Puisque la série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\geqslant1\), converge uniformément vers \(f\) sur \(\Rr\) et que chaque fonction \(f_n\) a une limite réelle quand \(t\) tend vers \(+\infty\) à savoir \(\ell_n=\frac{\pi}{2n^2}\), le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer que \(f\) a une limite réelle en \(+\infty\) et que

\(\lim_{t \rightarrow +\infty}f(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ell_n=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^3}{12}\).

Continuité. Puisque chaque fonction \(f_n\), \(n\in\Nn^*\), est continue sur \(\Rr\) et que la série de fonctions de terme général \(f_n\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\Rr\), la fonction \(f\) est continue sur \(\Rr\) en tant que limite uniforme sur \(\Rr\) d’une suite de fonctions continues sur \(\Rr\).

Dérivation. Soit \(a>0\). Chaque fonction \(f_n\), \(n\geqslant1\), est de classe \(C^1\) sur \([a,+\infty[\) et pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\geqslant a\),

\(f_n'(t)=\frac{n}{n^2(1+n^2t^2)}=\frac{1}{n(1+n^2t^2)}\).

Pour \(n\in\Nn^*\), on a alors \(\underset{t\in[a,+\infty[}{\text{sup}}|f_n'(t)|=f_n'(a)=\frac{1}{n(1+n^2a^2)}\). Puisque \(\frac{1}{n(1+n^2a^2)}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{a^2n^3}>0\), la série de terme général \(\frac{1}{n(1+n^2a^2)}\) converge et par suite, la série de fonctions de terme général \(f_n'\), \(n\geqslant1\), converge normalement et donc uniformément sur \([a,+\infty[\).

En résumé,

la série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\geqslant 1\), converge simplement vers \(f\) sur \([a,+\infty[\),

chaque fonction \(f_n\) est de classe \(C^1\) sur \([a,+\infty[\),

la série de fonctions de terme général \(f_n'\) converge uniformément sur \([a,+\infty[\).

D’après un corollaire du théorème de dérivation terme à terme, \(f\) est de classe \(C^1\) sur \([a,+\infty[\) et sa dérivée s’obtient par dérivation terme à terme. Ceci étant vrai pour tout \(a>0\), \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\) et puisque \(f\) est impaire

Dérivabilité en \(0\). La fonction \(f'\) est décroissante sur \(]0,+\infty[\). Donc la fonction \(f'\) admet une limite en \(0^+\) élément de \(]-\infty,+\infty]\). Pour \(t>0\) et \(N\in\Nn^*\), on a \(f'(t)\geqslant\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(1+n^2t^2)}\) et quand \(t\) tend vers \(0\), on obtient

\(\displaystyle\lim_{\substack{t\rightarrow0\\ t>0}}f'(t)\geqslant\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\).

Cette inégalité étant vraie pour tout entier naturel non nul \(N\), quand \(N\) tend vers \(+\infty\) on obtient

\(\displaystyle\lim_{\substack{t\rightarrow0\\ t>0}}f'(t)\geqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=+\infty\).

On a montré que \(\displaystyle\lim_{\substack{t\rightarrow0\\ t>0}}f'(t)=+\infty\).

En résumé, \(f\) est de classe \(C^0\) sur \([0,+\infty[\), de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\) et \(f'(t)\) tend vers \(+\infty\) quand \(t\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures. D’après un corollaire du théorème des accroissements finis, on sait que \(f\) n’est pas dérivable en \(0\) à droite et que sa courbe représentative admet \([Oy)\) pour demi-tangente en \((0,0)\). Puisque \(f\) est impaire, \(f\) n’est pas dérivable en \(0\) et sa courbe représentative admet \((Oy)\) pour tangente en \((0,0)\).

Allure du graphe.

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exo7 5735