Domaine de définition. Soit $t\in\Rr$ . Pour chaque $n\in\Nn^*$ , $f_n(t)$ existe et de plus $f_n(t)=\frac{\Arctan(nt)}{n^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ . Donc la série numérique de terme général $f_n(t)$ , $n\geqslant1$ , converge absolument et en particulier converge. On a montré que

$f$ est définie sur $\Rr$ .

Parité. Pour tout réel $t$ ,

$f(-t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Arctan(-nt)}{n^2}=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Arctan(nt)}{n^2}=-f(t)$ .

$f$ est impaire.

Convergence normale. Pour tout réel $t$ et tout entier naturel non nul $n$ , $|f_n(t)|\leqslant\frac{\pi}{2n^2}$ et donc pour tout entier naturel non nul $n$ ,

$\underset{t\in\Rr}{\text{sup}}|f_n(t)|\leqslant\frac{\pi}{2n^2}$ .

Comme la série numérique de terme général $\frac{\pi}{2n^2}$ , $n\geqslant1$ , converge, la série de fonctions de terme général $f_n$ converge normalement et donc uniformément vers $f$ sur $\Rr$ .

Limite de $f$ en $+\infty$ . Puisque la série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\geqslant1$ , converge uniformément vers $f$ sur $\Rr$ et que chaque fonction $f_n$ a une limite réelle quand $t$ tend vers $+\infty$ à savoir $\ell_n=\frac{\pi}{2n^2}$ , le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer que $f$ a une limite réelle en $+\infty$ et que

$\lim_{t \rightarrow +\infty}f(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ell_n=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^3}{12}$ .

$\lim_{t \rightarrow +\infty}f(t)=\frac{\pi^3}{12}$ et $\lim_{t \rightarrow -\infty}f(t)=-\frac{\pi^3}{12}$ .

Continuité. Puisque chaque fonction $f_n$ , $n\in\Nn^*$ , est continue sur $\Rr$ et que la série de fonctions de terme général $f_n$ converge uniformément vers $f$ sur $\Rr$ , la fonction $f$ est continue sur $\Rr$ en tant que limite uniforme sur $\Rr$ d’une suite de fonctions continues sur $\Rr$ .

$f$ est continue sur $\Rr$ .

Dérivation. Soit $a>0$ . Chaque fonction $f_n$ , $n\geqslant1$ , est de classe $C^1$ sur $[a,+\infty[$ et pour $n\in\Nn^*$ et $t\geqslant a$ ,

$f_n'(t)=\frac{n}{n^2(1+n^2t^2)}=\frac{1}{n(1+n^2t^2)}$ .

Pour $n\in\Nn^*$ , on a alors $\underset{t\in[a,+\infty[}{\text{sup}}|f_n'(t)|=f_n'(a)=\frac{1}{n(1+n^2a^2)}$ . Puisque $\frac{1}{n(1+n^2a^2)}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{a^2n^3}>0$ , la série de terme général $\frac{1}{n(1+n^2a^2)}$ converge et par suite, la série de fonctions de terme général $f_n'$ , $n\geqslant1$ , converge normalement et donc uniformément sur $[a,+\infty[$ .

En résumé,

la série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\geqslant 1$ , converge simplement vers $f$ sur $[a,+\infty[$ ,

chaque fonction $f_n$ est de classe $C^1$ sur $[a,+\infty[$ ,

la série de fonctions de terme général $f_n'$ converge uniformément sur $[a,+\infty[$ .

D’après un corollaire du théorème de dérivation terme à terme, $f$ est de classe $C^1$ sur $[a,+\infty[$ et sa dérivée s’obtient par dérivation terme à terme. Ceci étant vrai pour tout $a>0$ , $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et puisque $f$ est impaire

$f$ est de classe $C^1$ sur $\Rr^*$ et $\forall t\in\Rr^*$ , $f'(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(1+n^2t^2)}$ .

Dérivabilité en $0$ . La fonction $f'$ est décroissante sur $]0,+\infty[$ . Donc la fonction $f'$ admet une limite en $0^+$ élément de $]-\infty,+\infty]$ . Pour $t>0$ et $N\in\Nn^*$ , on a $f'(t)\geqslant\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(1+n^2t^2)}$ et quand $t$ tend vers $0$ , on obtient

$\displaystyle\lim_{\substack{t\rightarrow0\\ t>0}}f'(t)\geqslant\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}$ .

Cette inégalité étant vraie pour tout entier naturel non nul $N$ , quand $N$ tend vers $+\infty$ on obtient

$\displaystyle\lim_{\substack{t\rightarrow0\\ t>0}}f'(t)\geqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=+\infty$ .

On a montré que $\displaystyle\lim_{\substack{t\rightarrow0\\ t>0}}f'(t)=+\infty$ .

En résumé, $f$ est de classe $C^0$ sur $[0,+\infty[$ , de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et $f'(t)$ tend vers $+\infty$ quand $t$ tend vers $0$ par valeurs supérieures. D’après un corollaire du théorème des accroissements finis, on sait que $f$ n’est pas dérivable en $0$ à droite et que sa courbe représentative admet $[Oy)$ pour demi-tangente en $(0,0)$ . Puisque $f$ est impaire, $f$ n’est pas dérivable en $0$ et sa courbe représentative admet $(Oy)$ pour tangente en $(0,0)$ .

Allure du graphe.

\[\]

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