Soit $A\in\mathcal{M}_p(\Cc)$ .

(3) $\Rightarrow$ (2). On sait que si la série de terme général $A^n$ , $n\in\Nn$ , converge, alors $\lim_{n \rightarrow +\infty}A^n=0$ .

(2) $\Rightarrow$ (1). Supposons $\lim_{n \rightarrow +\infty}A^n=0$ . Soit $p\geqslant1$ une valeur propre de $A$ et $X\in\mathcal{M}_{p,1}(\Cc)\setminus\{0\}$ un vecteur propre associé. Pour tout entier naturel $n$ , $A^nX=\lambda^nX$ . Puisque $\lim_{n \rightarrow +\infty}A^n=0$ , on a encore $\lim_{n \rightarrow +\infty}A^nX=0$ puis $\lim_{n \rightarrow +\infty}\lambda^nX=0$ et donc $\lim_{n \rightarrow +\infty}\lambda^n=0$ .

Ainsi, si $\lim_{n \rightarrow +\infty}A^n=0$ alors $\text{Sp}(A)\subset B_o(0,1)$ .

(1) $\Rightarrow$ (3). Soit $A\in\mathcal{M}_p(\Cc)$ telle que $\text{Sp}(A)\subset B_o(0,1)$ . On sait (voir exercice [ex:rou20] : décomposition de Dunford) qu’il existe deux matrices $D$ et $N$ telles que

1) $A=D+N$

2) $D$ diagonalisable

3) $N$ nilpotente

4) $DN=ND$ .

De plus, les valeurs propres de $D$ sont les valeurs propres de $A$ .

On note $k$ l’indice de nilpotence de $N$ . Puisque les matrices $D$ et $N$ convergent, la formule du binôme de Newton permet d’écrire pour $n\geqslant k$

$A^n=(D+N)^n=\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}D^{n-j}N^j=\sum_{j=0}^{k}\dbinom{n}{j}D^{n-j}N^j$ .

Il existe une matrice $P\in\mathcal{GL}_p(\Cc)$ et une matrice diagonale $\Delta$ tel que $D=P\Delta P^{-1}$ . Mais alors, $\forall j\in\llbracket0,k\rrbracket$ , $\forall n\geqslant j$ , $\dbinom{n}{j}D^{n-j}N^j=P\times\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}\times PN^j$ .

Soit $j\in\llbracket0,k\rrbracket$ . Vérifions tout d’abord que la série de terme général $\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}$ , $n\geqslant j$ converge. Posons $\Delta=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_p)$ . Alors $\forall n\geqslant j$ , $\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}=\text{diag}\left(\dbinom{n}{j}\lambda_1^{n-j},\ldots,\dbinom{n}{j}\lambda_p^{n-j}\right)$ . Maintenant, si $\lambda$ est une valeur propre de $\Delta$ (et donc de $A$ ), $\dbinom{n}{j}\lambda^{n-j}= \frac{n(n-1)\ldots(n-j+1)}{j!}\lambda^{n-j}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n^j\lambda^{n-j}=\underset{n\rightarrow+\infty}o\left( \frac{1}{n^2}\right)$ car $|\lambda|<1$ et donc la série de terme général $\dbinom{n}{j}\lambda^{n-j}$ , $n\geqslant j$ , converge.

Ainsi, la série de terme général $\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}$ converge. D’autre part, l’application $M\mapsto P\times M\times PN^j$ est continue sur $\mathcal{M}_p(\Cc)$ en tant qu’endomorphisme d’un espace de dimension finie. On en déduit que la série de terme général $P\times\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}\times PN^j$ converge.

Finalement, pour chaque $j\in\llbracket0,k\rrbracket$ , la série de terme général $P\times\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}\times PN^j$ converge et donc la série de terme général $A^n$ converge car est somme de $j+1$ séries convergentes.

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