Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\).

(3) \(\Rightarrow\) (2). On sait que si la série de terme général \(A^n\), \(n\in\Nn\), converge, alors \(\lim_{n \rightarrow +\infty}A^n=0\).

(2) \(\Rightarrow\) (1). Supposons \(\lim_{n \rightarrow +\infty}A^n=0\). Soit \(\lambda\in\Cc\) une valeur propre de \(A\) et \(X\in\mathcal{M}_{p,1}(\Cc)\setminus\{0\}\) un vecteur propre associé. Pour tout entier naturel \(n\), \(A^nX=\lambda^nX\). Puisque \(\lim_{n \rightarrow +\infty}A^n=0\), on a encore \(\lim_{n \rightarrow +\infty}A^nX=0\) puis \(\lim_{n \rightarrow +\infty}\lambda^nX=0\) et donc \(\lim_{n \rightarrow +\infty}\lambda^n=0\).

Ainsi, si \(\lim_{n \rightarrow +\infty}A^n=0\) alors \(\text{Sp}(A)\subset B_o(0,1)\).

(1) \(\Rightarrow\) (3). Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\) telle que \(\text{Sp}(A)\subset B_o(0,1)\). On sait (voir exercice [ex:rou20] : décomposition de Dunford) qu’il existe deux matrices \(D\) et \(N\) telles que

1) \(A=D+N\)

2) \(D\) diagonalisable

3) \(N\) nilpotente

4) \(DN=ND\).

De plus, les valeurs propres de \(D\) sont les valeurs propres de \(A\).

On note \(k\) l’indice de nilpotence de \(N\). Puisque les matrices \(D\) et \(N\) convergent, la formule du binôme de Newton permet d’écrire pour \(n\geqslant k\)

\(A^n=(D+N)^n=\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}D^{n-j}N^j=\sum_{j=0}^{k}\dbinom{n}{j}D^{n-j}N^j\).

Il existe une matrice \(P\in\mathcal{GL}_p(\Cc)\) et une matrice diagonale \(\Delta\) tel que \(D=P\Delta P^{-1}\). Mais alors, \(\forall j\in\llbracket0,k\rrbracket\), \(\forall n\geqslant j\), \(\dbinom{n}{j}D^{n-j}N^j=P\times\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}\times PN^j\).

Soit \(j\in\llbracket0,k\rrbracket\). Vérifions tout d’abord que la série de terme général \(\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}\), \(n\geqslant j\) converge. Posons \(\Delta=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_p)\). Alors \(\forall n\geqslant j\), \(\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}=\text{diag}\left(\dbinom{n}{j}\lambda_1^{n-j},\ldots,\dbinom{n}{j}\lambda_p^{n-j}\right)\). Maintenant, si \(\lambda\) est une valeur propre de \(\Delta\) (et donc de \(A\)), \(\dbinom{n}{j}\lambda^{n-j}= \frac{n(n-1)\ldots(n-j+1)}{j!}\lambda^{n-j}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n^j\lambda^{n-j}=\underset{n\rightarrow+\infty}o\left( \frac{1}{n^2}\right)\) car \(|\lambda|<1\) et donc la série de terme général \(\dbinom{n}{j}\lambda^{n-j}\), \(n\geqslant j\), converge.

Ainsi, la série de terme général \(\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}\) converge. D’autre part, l’application \(M\mapsto P\times M\times PN^j\) est continue sur \(\mathcal{M}_p(\Cc)\) en tant qu’endomorphisme d’un espace de dimension finie. On en déduit que la série de terme général \(P\times\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}\times PN^j\) converge.

Finalement, pour chaque \(j\in\llbracket0,k\rrbracket\), la série de terme général \(P\times\dbinom{n}{j}\Delta^{n-j}\times PN^j\) converge et donc la série de terme général \(A^n\) converge car est somme de \(j+1\) séries convergentes.

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