L2 Analyse Suite et série de fonctions Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 5728

Soit ff une application continue sur [0,1][0,1] à valeurs dans R\Rr. Pour nn entier naturel non nul, on définit le nn-ème polynôme de Bernstein associé à ff par

Bn(f)=∑k=0n(nk)f(kn)Xk(1−X)n−kB_n(f) =\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}f\left(\frac{k}{n}\right)X^k(1-X)^{n-k}.

1

Calculer Bn(f)B_n(f) quand ff est la fonction x↦1x\mapsto 1, quand ff est la fonction x↦xx\mapsto x, quand ff est la fonction x↦x(x−1)x\mapsto x(x-1).

2

En déduire que ∑k=0n(nk)(k−nX)2Xk(1−X)n−k=nX(1−X)\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(k-nX)^2X^k(1-X)^{n-k}= nX(1-X).

Exercice sOhS

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