Soit \(f\) une application continue sur \([0,1]\) à valeurs dans \(\Rr\). Pour \(n\) entier naturel non nul, on définit le \(n\)-ème polynôme de Bernstein associé à \(f\) par
\(B_n(f) =\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}f\left(\frac{k}{n}\right)X^k(1-X)^{n-k}\).
1
Calculer \(B_n(f)\) quand \(f\) est la fonction \(x\mapsto 1\), quand \(f\) est la fonction \(x\mapsto x\), quand \(f\) est la fonction \(x\mapsto x(x-1)\).
2
En déduire que \(\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(k-nX)^2X^k(1-X)^{n-k}= nX(1-X)\).