L2 Analyse Suite et série de fonctions Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 2 questions

exo7 4547

Pour $y\in\R$ et $n\in\N^*$ , on pose $a_n(y) = \frac{\cos(ny)}{\sqrt n}$ .

Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n(y)x^n$ .

Soit $D=\{(x,y)\in\R^2,\ |x|<1\}$ et $F(x,y) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n(y)x^n$ . Montrer que $F$ , $\frac{\partial F}{\partial x}$ et $\frac{\partial F}{\partial y}$ existent en tout point de $D$ .