Limite de \(f\) en \(+\infty\). Soit \(x > 1\). Donc \(f(x)\) existe. Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\ln(nx) > 0\). On en déduit que la suite \(\left(\frac{1}{\ln(nx)}\right)_{n\in\Nn^*}\) est décroissante. On sait alors que la valeur absolue de \(f(x)\) est majorée par la valeur absolue du premier terme de la série. Ainsi

\(\forall x>1\), \(|f(x)|\leqslant\left|\frac{(-1)^0}{\ln(x)}\right|=\frac{1}{\ln x}\),

et en particulier

On peut noter de plus que pour \(x>1\), \(f(x)\) est du signe du premier terme de la série à savoir \(\frac{1}{\ln(x)}\) et donc \(\forall x\in]1,+\infty[\), \(f(x) > 0\).

Convergence uniforme sur\(]1,+\infty[\). D’après une majoration classique du reste à l’ordre \(n\) alternée d’une série alternée, pour \(x > 1\) et \(n\) naturel non nul,

\(|R_n(x)| =\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{\ln(kx)}\right|\leqslant\left|\frac{(-1)^{n}}{\ln((n+1)x)}\right|=\frac{1}{\ln((n+1)x}\leqslant\frac{1}{n+1}\).

Donc, pour tout entier naturel non nul, \(\underset{x\in]1,+\infty[}{\text{sup}}|R_n(x)|\leqslant\frac{1}{\ln(n+1)}\) et donc \(\lim_{n \rightarrow +\infty}\underset{x\in]1,+\infty[}{\text{sup}}|R_n(x)|=0\). La série de fonctions de terme général \(f_n\) converge uniformément vers sa somme sur \(]1,+\infty[\).

Continuité sur \(]1,+\infty[\). Chaque fonction \(f_n\), \(n\in\Nn^*\) est continue sur \(]1,+\infty[\) et donc \(f\) est donc continue sur \(]1,+\infty[\) en tant que limite uniforme sur \(]1,+\infty[\) d’une suite de fonctions continues sur \(]1,+\infty[\).

Limite en \(1\) à droite. Soit \(n\geqslant2\). Quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs supérieures, \(f_n(x)\) tend vers \(\ell_n=\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n)}\). Puisque la série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\geqslant2\), converge uniformément vers sa somme sur \(]1,+\infty[\), le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer que la série numérique de terme général \(\ell_n\), \(n\geqslant2\) converge et que la fonction \(x\mapsto f(x) -\frac{1}{\ln(x)}=\sum_{n=2}^{+\infty}f_n(x)\) tend vers le réel \(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n)}\) quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs supérieures ou encore

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