Limite de $f$ en $+\infty$ . Soit $x > 1$ . Donc $f(x)$ existe. Pour tout entier naturel non nul $n$ , $\ln(nx) > 0$ . On en déduit que la suite $\left(\frac{1}{\ln(nx)}\right)_{n\in\Nn^*}$ est décroissante. On sait alors que la valeur absolue de $f(x)$ est majorée par la valeur absolue du premier terme de la série. Ainsi

$\forall x>1$ , $|f(x)|\leqslant\left|\frac{(-1)^0}{\ln(x)}\right|=\frac{1}{\ln x}$ ,

et en particulier

$\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = 0$ .

On peut noter de plus que pour $x>1$ , $f(x)$ est du signe du premier terme de la série à savoir $\frac{1}{\ln(x)}$ et donc $\forall x\in]1,+\infty[$ , $f(x) > 0$ .

Convergence uniforme sur $]1,+\infty[$ . D’après une majoration classique du reste à l’ordre $n$ alternée d’une série alternée, pour $x > 1$ et $n$ naturel non nul,

$|R_n(x)| =\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{\ln(kx)}\right|\leqslant\left|\frac{(-1)^{n}}{\ln((n+1)x)}\right|=\frac{1}{\ln((n+1)x}\leqslant\frac{1}{n+1}$ .

Donc, pour tout entier naturel non nul, $\underset{x\in]1,+\infty[}{\text{sup}}|R_n(x)|\leqslant\frac{1}{\ln(n+1)}$ et donc $\lim_{n \rightarrow +\infty}\underset{x\in]1,+\infty[}{\text{sup}}|R_n(x)|=0$ . La série de fonctions de terme général $f_n$ converge uniformément vers sa somme sur $]1,+\infty[$ .

Continuité sur $]1,+\infty[$ . Chaque fonction $f_n$ , $n\in\Nn^*$ est continue sur $]1,+\infty[$ et donc $f$ est donc continue sur $]1,+\infty[$ en tant que limite uniforme sur $]1,+\infty[$ d’une suite de fonctions continues sur $]1,+\infty[$ .

$f$ est continue sur $]1,+\infty[$ .

Limite en $1$ à droite. Soit $n\geqslant2$ . Quand $x$ tend vers $1$ par valeurs supérieures, $f_n(x)$ tend vers $\ell_n=\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n)}$ . Puisque la série de fonctions de terme général $f_n$ , $n\geqslant2$ , converge uniformément vers sa somme sur $]1,+\infty[$ , le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer que la série numérique de terme général $\ell_n$ , $n\geqslant2$ converge et que la fonction $x\mapsto f(x) -\frac{1}{\ln(x)}=\sum_{n=2}^{+\infty}f_n(x)$ tend vers le réel $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(n)}$ quand $x$ tend vers $1$ par valeurs supérieures ou encore

$f(x)\underset{x\rightarrow1^+}{=}\frac{1}{\ln x}+O(1)$ et en particulier, $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow1\\ x>1}}f(x) = +\infty$ .

exo7 5731