Convergence simple sur \(\Rr^+\). Soit \(x\) un réel positif fixé. Pour \(n> x\), \(f_n(x)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\) et donc

\(f_n(x)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\text{exp}\left(n\ln\left(1-\frac{x}{n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\text{exp}(-x+o(1)\).

Donc la suite de fonctions \((f_n)_{n\in\Nn^*}\) converge simplement sur \(\Rr^+\) vers la fonction \(f~:~x\mapsto e^{-x}\).

Convergence uniforme sur \(\Rr^+\). Pour \(x\) réel positif et \(n\) entier naturel non nul, posons \(g_n(x) = f(x)-f_n(x) =\left\{ \begin{array}{l} e^{-x}-\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\;\text{si}\;x\in[0,n]\\ e^{-x}\;\text{si}\;x>n \end{array} \right.\). Déterminons la borne supérieure de la fonction \(|g_n|\) sur \([0,+\infty[\).

La fonction \(g_n\) est définie et continue sur \(R^+\). Pour \(x\geqslant n\), \(0<g_n(x)\leqslant e^{-n} = g_n(n)\).

Etudions la fonction \(g_n\) sur \([0,n]\). Pour \(x\in[0,n]\), \(g_n'(x)=-e^{-x}+\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n-1}\).(\(g_n'(n)\) est la dérivée à gauche de la fonction \(g_n\) en \(n\), mais on peut montrer qu’en fait la fonction \(g_n\) est dérivable en \(n\) pour \(n > 1\)).

La fonction \(g_n\) est continue sur le segment \([0,n]\) et admet donc sur \([0,n]\) un minimum et un maximum.

La fonction \(g_n\) a un minimum égal à \(0\) atteint en \(0\). En effet, on sait que pour tout réel \(u\), \(e^u\geqslant 1+u\) (inégalité de convexité) et donc pour tout réel \(x\) de \([0,n]\), \(e^{-x/n}\geqslant 1-\frac{x}{n}\geqslant 0\). Après élévation des deux membres de cette inégalité, par croissance de \(t\mapsto t^n\) sur \(\Rr^+\), on obtient \(e^{-x}\geqslant\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\) ou encore \(g_n(x)\geqslant 0 = g_n(0)\).

Pour \(0 < x\leqslant n\), les inégalités précédentes sont strictes et la fonction \({g_n}_{/[0,n]}\) admet son maximum dans \(]0,n]\). De plus, \(g_n'(n)=-e^{-n}< 0\) et puisque la fonction \(g_n\) est de classe \(C^1\) sur \([0,n]\), sa dérivée \(g_n'\) est strictement négative sur un voisinage à gauche de \(n\). La fonction \(g_n\) est alors strictement décroissante sur ce voisinage et la fonction \(g_n\) admet nécessairement son maximum sur \(\Rr^+\) en un certain point \(x_n\) de \(]0,n[\). En un tel point, puisque l’intervalle \(]0,n[\) est ouvert, on sait que la dérivée de la fonction \(g_n\) s’annule. L’égalité \(g_n'(x_n) = 0\) fournit \(\left(1-\frac{x_n}{n}\right)^{n-1}=e^{-x_n}\) et donc

\(g_n(x_n) =e^{-x_n}-\left(1-\frac{x_n}{n}\right)^n =\left(1-\left(1-\frac{x_n}{n}\right)\right)e^{-x_n}= \frac{x_ne^{-x_n}}{n}\).

En résumé, pour tout réel positif \(x\), \(0\leqslant g_n(x)\leqslant\frac{x_ne^{-x_n}}{n}\) où \(x_n\) est un certain réel de \(]0,n[\).

Pour \(u\) réel positif, posons \(h(u) = ue^{-u}\). La fonction \(h\) est dérivable sur \(/mbr^+\) et pour \(u\geqslant0\), \(h'(u) = (1-u)e^{-u}\). Par suite, la fonction \(h\) admet un maximum en \(1\) égal à \(\frac{1}{e}\). On a montré que

\(\forall x\in[0,+\infty[\), \(\forall n\in\Nn^*\), \(0\leqslant g_n(x)\leqslant\frac{1}{ne}\)

ou encore \(\forall n\in\Nn^*\), \(\text{sup}\{|g_n(x)|,\;x\geqslant 0\}\leqslant\frac{1}{ne}\). Ainsi, \(\lim_{n \rightarrow +\infty}\text{sup}\{|g_n(x)|,\;x\geqslant 0\}=0\) et on a montré que

Existence de \(I=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\;dx\). La fonction \(x\mapsto e^{-x^2}\) est continue sur \([0,+\infty[\) et négligeable devant \(\frac{1}{x^2}\) en \(+\infty\). Donc la fonction \(x\mapsto e^{-x^2}\) est intégrable sur \([0,+\infty[\). Par suite, \(I\) existe dans \(\Rr\).

On est alors en droit d’espérer que \(I=\lim_{n \rightarrow +\infty}\int_{0}^{+\infty}f_n(x^2)\;dx\).

La fonction \(x\mapsto f_n(x^2)\) est continue sur \([0,+\infty[\) et nulle sur \([\sqrt{n},+\infty[\). Donc la fonction \(x\mapsto f_n(x^2)\) est intégrable sur \([0,+\infty[\). Pour \(n\in\Nn^*\), posons \(I_n=\int_{0}^{+\infty}f_n(x^2)\;dx=\int_{0}^{\sqrt{n}}\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\;dx\).

Montrons que \(I_n\) tend vers \(I\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

\(|I-I_n|\leqslant\int_{0}^{\sqrt{n}}|f(x^2)-f_n(x^2)|\;dx+\int_{\sqrt{n}}^{+\infty}e^{-x^2}\;dx\leqslant\sqrt{n}\times\frac{1}{ne}+\int_{\sqrt{n}}^{+\infty}e^{-x^2}\;dx=\frac{1}{e\sqrt{n}}+\int_{\sqrt{n}}^{+\infty}e^{-x^2}\;dx\).

Puisque la fonction \(x\mapsto e^{-x^2}\) est intégrable sur \([0,+\infty[\), cette dernière expression tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et donc \(\lim_{n \rightarrow +\infty}I_n=I\).

Calcul de la limite de \(I_n\). Soit \(n\in\Nn^*\). Les changements de variables \(x = u\sqrt{n}\) puis \(u =\cos v\) fournissent

\(I_n =\int_{0}^{\sqrt{n}}\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\;dx=\sqrt{n}\int_{0}^{1}(1-u^2)^n\;du =\sqrt{n}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2n+1}v\;dv =\sqrt{n}W_{2n+1}\)

où \(W_n\) est la \(n\)-ème intégrale de Wallis. On a déjà vu (exercice classique, voir fiches de Maths Sup) que \(W_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sqrt{\frac{\pi}{2n}}\) et donc

\(I_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sqrt{n}\times\sqrt{\frac{\pi}{2(2n+1)}}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

Finalement, \(I_n\) tend vers \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et donc

Vous pouvez voir différents calculs de l’intégrale de Gauss dans Grands classiques de concours : intégration .

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