Existence de l’intégrale. Soit \(x\in\Rr\). La fonction \(f~:~t\mapsto\frac{\cos(xt)}{\ch t}\) est continue sur \([0,+\infty[\). De plus, pour tout réel positif \(t\), \(|f(t)|\leqslant\frac{1}{\ch t}\) et donc \(|f(t)|\underset{t\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{2}{e^t}\underset{t\rightarrow+\infty}{=}o\left(\frac{1}{t^2}\right)\). On en déduit que la fonction \(f\) est intégrable sur \([0,+\infty[\).

Pour tout réel \(x\), \(\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(xt)}{\ch t}\;dt\) existe.

Convergence de la série. Soit \(x\in\Rr\). Pour \(n\in\Nn\), posons \(u_n(x)=\frac{2n+1}{(2n+1)^2+x^2}\). Pour \(n\in\Nn\),

\[\begin{align*}\ensuremath u_n(x)-u_{n+1}(x)&=\frac{2n+1}{(2n+1)^2+x^2}-\frac{2n+3}{(2n+3)^2+x^2}=\frac{(2n+1)((2n+3)^2+x^2)-(2n+3)((2n+1)^2+x^2)}{((2n+1)^2+x^2)((2n+3)^2+x^2)}\\ &=\frac{2(2n+1)(2n+3)-2x^2}{((2n+1)^2+x^2)((2n+3)^2+x^2)}. \end{align*}\]

Puisque le numérateur de cette dernière expression tend vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), cette expression est positive pour \(n\) grand. On en déduit que la suite \((u_n(x))\) décroît à partir d’un certain rang. D’autre part, \(\lim_{n \rightarrow +\infty}u_n(x)=0\).

On en déduit que la série de terme général \((-1)^nu_n(x)\) converge en vertu du critère spécial aux séries alternées.

Pour tout réel \(x\), la série de terme général \((-1)^n\frac{2n+1}{(2n+1)^2+x^2}\) converge.

Egalité de l’intégrale et de la somme de la série. Soit \(n\in\Nn\). Pour \(t\in]0,+\infty[\), on a \(e^{-t}\in]0,1[\) et donc

\[\begin{align*}\ensuremath \frac{\cos(xt)}{\ch t}&=\frac{2\cos(xt)e^{-t}}{1+e^{-2t}}=2\cos(xt)e^{-t}\sum_{k=0}^{n}(-1)^ke^{-2kt}+(-1)^{n+1}\frac{\cos(xt)e^{-(2n+3)t}}{1+e^{-2t}}\\ &=2\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\cos(xt)e^{-(2k+1)t}+(-1)^{n+1}\frac{\cos(xt)e^{-(2n+3)t}}{1+e^{-2t}}. \end{align*}\]

Maintenant, pour chaque \(k\in\Nn\), la fonction \(t\mapsto\cos(xt)e^{-(2k+1)t}\) est intégrable sur \([0,+\infty[\) car continue sur \([0,+\infty[\) et négligeable devant \(\frac{1}{t^2}\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\). On en déduit encore que la fonction \(t\mapsto (-1)^{n+1}\frac{\cos(xt)e^{-(2n+3)t}}{1+e^{-2t}}\) est intégrable sur \([0,+\infty[\) puis que

\(\forall n\in\Nn\), \(\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(xt)}{\ch t}\;dt=2\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\int_{0}^{+\infty}\cos(xt)e^{-(2k+1)t}\;dt+(-1)^{n+1}\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(xt)e^{-(2n+3)t}}{1+e^{-2t}}\;dt\).

Ensuite, \(\left|\int_{0}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{\cos(xt)e^{-(2n+3)t}}{1+e^{-2t}}\;dt\right|\leqslant\int_{0}^{+\infty}e^{-(2n+3)t}\;dt=\frac{1}{2n+3}\), et donc \(\lim_{n \rightarrow +\infty}(-1)^{n+1}\frac{\cos(xt)e^{-(2n+3)t}}{1+e^{-2t}}\;dt=0\) puis

\(\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(xt)}{\ch t}\;dt=2\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\int_{0}^{+\infty}\cos(xt)e^{-(2n+1)t}\;dt\).

Soit \(n\in\Nn\).

\[\begin{align*}\ensuremath \int_{0}^{+\infty}\cos(xt)e^{-(2n+1)t}\;dt&=\text{Re}\left(\int_{0}^{+\infty}e^{ixt}e^{-(2n+1)t}\;dt\right)=\text{Re}\left(\int_{0}^{+\infty}e^{(-(2n+1)+ix)t}\;dt\right)\\ &=\text{Re}\left(\left[\frac{e^{(-(2n+1)+ix)t}}{-(2n+1)+ix}\right]_0^{+\infty}\right)=\text{Re}\left(\frac{1}{(2n+1)-ix}\left(1-\lim_{t \rightarrow +\infty}e^{(-(2n+1)+ix)t}\right)\right)\\ &=\text{Re}\left(\frac{1}{(2n+1)-ix}\right)\;(\text{car}\;\left|e^{(-(2n+1)+ix)t}\right|=e^{-(2n+1)t}\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0)\\ &=\text{Re}\left(\frac{2n+1+ix}{(2n+1)^2+x^2}\right)=\frac{2n+1}{(2n+1)^2+x^2}. \end{align*}\]

On a enfin montré que

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