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Soit $(f_n)$ une suite de fonctions ${[a,b]} \to {\R}$ convergeant simplement vers $f$ . On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont $k$ -Lipchitizennes (avec le même $k$ ).

Soit $(a_0,a_1,\dots,a_N)$ une subdivision régulière de $[a,b]$ . On note $M_n = \max\{|f_n(a_i)-f(a_i)|\text{ tel que } 0\le i \le N\}$ . Encadrer $\|f_n-f\|_{\infty}$ à l’aide de $M_n$ .

Montrer que $f_n$ converge uniformément vers $f$ .