Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \({[a,b]} \to {\R}\) convergeant simplement vers \(f\). On suppose que toutes les fonctions \(f_n\) sont \(k\)-Lipchitizennes (avec le même \(k\)).
1
Soit \((a_0,a_1,\dots,a_N)\) une subdivision régulière de \([a,b]\). On note \(M_n = \max\{|f_n(a_i)-f(a_i)|\text{ tel que } 0\le i \le N\}\). Encadrer \(\|f_n-f\|_{\infty}\) à l’aide de \(M_n\).
2
Montrer que \(f_n\) converge uniformément vers \(f\).