Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et pour \(x>0\) : \(\eta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\strut n^x}\).
1
Établir pour \(x>1\) : \(\eta(x) = (1-2^{1-x})\zeta(x)\). En déduire \(\zeta(x) \sim \frac 1{x-1}\) pour \(x\to1^+\).
2
Montrer que \(\zeta(x) = \frac 1{x-1} + \gamma + o(1)\). On remarquera que \(\frac 1{x-1} = \int_{t=1}^{+\infty} \frac{d t}{\strut t^x}\).
3
En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\ln n}n\).