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Pour $x>1$ on pose $\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}$ et pour $x>0$ : $\eta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\strut n^x}$ .

Établir pour $x>1$ : $\eta(x) = (1-2^{1-x})\zeta(x)$ . En déduire $\zeta(x) \sim \frac 1{x-1}$ pour $x\to1^+$ .

Montrer que $\zeta(x) = \frac 1{x-1} + \gamma + o(1)$ . On remarquera que $\frac 1{x-1} = \int_{t=1}^{+\infty} \frac{d t}{\strut t^x}$ .