Soit $x\in]-1,1[$ . Pour $n\in\Nn^*$ , $\left|x^{n^2}\right|=|x|^{n^2}\leqslant|x|^n$ . Puisque la série numérique de terme général $|x|^n$ converge, on en déduit que la série de terme général $x^{n^2}$ est absolument convergente et en particulier convergente. Donc, $f$ est bien définie sur $]-1,1[$ .

Soit $x\in]0,1[$ . La fonction $t\mapsto x^{t^2}=e^{t^2\ln x}$ est décroissante sur $[0,+\infty[$ . Donc, $\forall k\in\Nn^*$ , $\int_{k}^{k+1}x^{t^2}\;dt\leqslant x^{k^2}\leqslant\int_{k-1}^{k}x^{t^2}\;dt$ . En sommant ces inégalités, on obtient

$\forall x\in]0,1[$ , $\int_{1}^{+\infty}x^{t^2}\;dt\leqslant f(x)\leqslant\int_{0}^{+\infty}x^{t^2}\;dt$ $(*)$ .

Soit $x\in]0,1[$ . En posant $u=t\sqrt{-\ln x}$ , on obtient

$\int_{0}^{+\infty}x^{t^2}\;dt=\int_{0}^{+\infty}e^{t^2\ln x}\;dt=\int_{0}^{+\infty}e^{-(t\sqrt{-\ln x})^2}\;dt=\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}\int_{0}^{+\infty}e^{-u^2}\;du=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}$ .

L’encadrement $(*)$ s’écrit alors

$\forall x\in]0,1[$ , $\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}-\int_{0}^{1}x^{t^2}\;dt\leqslant f(x)\leqslant\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}$ .

Comme $\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow1\\ x<1}}\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}=+\infty$ , on a montré que

$\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\underset{x\rightarrow1,\;x<1}{\sim}\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}$ .

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