[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
1
Calculer \(S_n(t) = \sum_{p=1}^n t^{p-1}\sin(px)\) puis \(S(t) = \lim_{n\to\infty} S_n(t)\).
2
Calculer \(\int_{t=0}^1 S_n(t)\,d t\) et \(\int_{t=0}^1 S(t)\,d t\).
3
En déduire que \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}n\) converge et donner sa valeur.