Soit \(a\in\Rr\). Pour \(n\in\Nn^*\), on pose \(A_n=\left( \begin{array}{cc} 1&- \frac{a}{n}\\ \frac{a}{n}&1 \end{array} \right)\).

Soit \(n\in\Nn^*\). On peut écrire \(A_n=\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}}&- \frac{a/n}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}}\\ \frac{a/n}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}}& \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}} \end{array} \right)\). Les sommes des carrés des deux nombres \(\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}}\) et \(\frac{a/n}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}}\) est égale à \(1\). Donc il existe un réel \(\theta_n\in]-\pi,\pi]\) tel que \(\cos(\theta_n)= \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}}\) et \(\sin(\theta_n)= \frac{a/n}{\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}}\). De plus, \(\cos(\theta_n)>0\) et \(\sin(\theta_n)>0\) et donc on peut prendre

\(\theta_n=\Arctan\left( \frac{a}{n}\right)\in\left]0, \frac{\pi}{2}\right[\).

Pour \(n\in\Nn^*\), on a alors

\(A_n^n=\left(\sqrt{1+ \frac{a^2}{n^2}}\right)^n\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta_n)&-\sin(\theta_n)\\ \sin(\theta_n)&\cos(\theta_n) \end{array} \right)^n=\left(1+ \frac{a^2}{n^2}\right)^{n/2}\left( \begin{array}{cc} \cos(n\theta_n)&-\sin(n\theta_n)\\ \sin(n\theta_n)&\cos(n\theta_n) \end{array} \right)\).

Maintenant, \(\left(1+ \frac{a^2}{n^2}\right)^{n/2}=\text{exp}\left( \frac{n}{2}\ln\left(1+ \frac{a^2}{n^2}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\text{exp}\left( \frac{a^2}{2n}+o\left( \frac{1}{n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1+o(1)\).

D’autre part, \(n\theta_n=n\Arctan\left( \frac{a}{n}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}n\times \frac{a}{n}=a\). Donc

\(\lim_{n \rightarrow +\infty}A_n^n=1.\left( \begin{array}{cc} \cos(a)&-\sin(a)\\ \sin(a)&\cos(a) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \cos(a)&-\sin(a)\\ \sin(a)&\cos(a) \end{array} \right)\).

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