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Soit $f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}$ .

Étudier la convergence simple des fonctions $f_n$ .

On note $f = \lim f_n$ . Calculer $f(x)$ en fonction de $f(x-1)$ lorsque ces deux quantités existent.

Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur son domaine de définition (on calculera $f_n'(x)/f_n(x)$ ).