Soit \(f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).
1
Étudier la convergence simple des fonctions \(f_n\).
2
On note \(f = \lim f_n\). Calculer \(f(x)\) en fonction de \(f(x-1)\) lorsque ces deux quantités existent.
3
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur son domaine de définition (on calculera \(f_n'(x)/f_n(x)\)).